Movimientos

Un caracol 🐌 recorre en línea recta una distancia de $10.8\thinspace\mathrm m$ en $1.5\thinspace\mathrm h$. ¿Qué distancia recorrerá en $5\thinspace\mathrm{min}$?

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Escribimos la ecuación del movimiento del caracol:

$$ x(t) = x_0 + vt, $$

donde $x = 10.8\thinspace\mathrm m$, $x_0 = 0$, $v$ es la velocidad del caracol (desconocida) y $t=1.5\thinspace\mathrm h$.

Como nos preguntan la distancia que recorrerá, $\Delta x = x-x_0$, en $5\thinspace\mathrm{min}$, podemos pasar las $1.5\thinspace\mathrm h$ a minutos:

$$ 1.5\thinspace\cancel{\mathrm h}\cdot \frac{60\thinspace\mathrm{min}}{1\thinspace\cancel{\mathrm h}} = 90\thinspace\mathrm{min} $$

y así calcular la velocidad en m/min:

$$ 10.8\thinspace\mathrm m = 0 + v\cdot 90\thinspace\mathrm{min} \rightarrow v = 0.12\thinspace\mathrm{m/min} $$

La distancia recorrida en $5\thinspace\mathrm{min}$ será por tanto:

Un coche 🚗 que circula a $70.2\thinspace\mathrm{km/h}$ disminuye su velocidad a razón de $3\thinspace\mathrm{m/s}$ cada segundo. ¿Qué distancia recorrerá hasta detenerse?

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Lo primero pasamos la velocidad inicial $v_0$ a m/s:

La frase “disminuye su velocidad a razón de $3\thinspace\mathrm{m/s}$ cada segundo” la tenemos que interpretar como que su aceleración $a=-3\thinspace\mathrm{m/s^2}$ (el signo $-$ es porque su velocidad disminuye, y la velocidad la tomamos positiva). Como no me dan información sobre tiempo ni me piden ningún tiempo (sino distancia recorrida $\Delta x$), utilizo la ecuación (3):

$$ v^2-v_0^2 = 2a\Delta x, \tag{3} $$

de donde despejo la distancia recorrida $\Delta x$:

$$ \Delta x = \frac{v^2-v_0^2}{2a} = \frac{0^2-19.5^2}{2\cdot (-3)} = 63.375\thinspace\mathrm m $$

Desde la azotea de un rascacielos de $120\thinspace\mathrm m$ de altura se lanza una piedra con velocidad de $5\thinspace\mathrm{m/s}$, hacia abajo. Calcular: a) Tiempo que tarda en llegar al suelo, b) velocidad con que choca contra el suelo.

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Escribimos la ecuación del movimiento (1) de la piedra:

$$ y(t) = y_0 + v_0 t + \frac{1}{2}at^2, \tag{1} $$

donde $y_0 = 120\thinspace\mathrm m$, $v_0 = -5\thinspace\mathrm{m/s}$ (hacia abajo) y $a=-g=-9.8\thinspace\mathrm{m/s^2}$, de forma que la ecuación particularizada queda:

a) De la ecuación (1) podemos despejar el tiempo que tarda en llegar al suelo, sabiendo que cuando llega al suelo, $y=0$:

b) Para calcular la velocidad con que choca contra el suelo podemos utilizar la ecuación (2) o la (3):

Utilizando la ecuación (2)

Sustituyendo el tiempo por el tiempo de llegada al suelo:

Utilizando la ecuación (3)

Teniendo cuidado al calcular $\Delta x = x-x_0 = 0-120 = -120\thinspace\mathrm{m}$, e imponiendo el signo $-$ al despejar $v$:

Un coche 🚗 se desplaza por una carretera que es paralela a la vía de un tren. El coche se detiene ante un semáforo que está con luz roja en el mismo instante que pasa un tren 🚞 con una rapidez constante de $12\thinspace\mathrm{m/s}$. El coche permanece detenido durante $6\thinspace\mathrm s$ y luego arranca con una aceleración constante de $2\thinspace\mathrm{m/s^2}$. Determinar:
a) El tiempo que emplea el coche en alcanzar al tren, medido desde el instante en que se detuvo ante el semáforo.
b) La distancia que recorrió el coche desde el semáforo hasta que alcanzó al tren.
c) La rapidez del coche en el instante que alcanza al tren.

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a) Lo primero que hacemos es escribir las ecuaciones del movimiento de cada móvil:

Particularizamos para nuestro caso:

$$ \begin{gathered} x_{0_\mathrm c}=x_{0_\mathrm t}=0 \\ v_{0_\mathrm c}=0;\quad v_\mathrm t = 12\thinspace\mathrm{m/s} \\ a_\mathrm c = 2\thinspace\mathrm{m/s^2} \\ t_{0_\mathrm c}=6\thinspace\mathrm s;\quad t_{0_\mathrm t} = 0 \end{gathered} $$

A continuación imponemos la condición de encuentro:

$$ \begin{aligned} x_\mathrm c &= x_\mathrm t \\ t^2-12t+36 &= 12t \\ t^2-24t+36 &= 0 \end{aligned} $$

Despejamos el tiempo de encuentro $t^*$:

donde descartamos la solución $t=1.6\thinspace\mathrm s$ por ser menor que los $6\thinspace\mathrm s$ que está parado el coche en el semáforo. Podemos comprobar esto representando la gráfica de posición frente a tiempo ($x-t$) para cada móvil:

donde se ve claramente cómo el coche está parado los primeros $6\thinspace\mathrm s$ para después arrancar acelerando (parábola) y alcanzando al tren a los 22.4 s.

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b) Para calcular la distancia recorrida por el coche solo tenemos que sustituir el tiempo de encuentro, $t^*=22.4\thinspace\mathrm s$, en su ecuación de posición, ya que comienza en $x_0 = 0$:

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c) La rapidez del coche cuando alcanza al tren la podemos calcular utilizando la ecuación de la velocidad del coche, sustituyendo $t=t^*$:

Las aspas de un ventilador giran uniformemente a razón de 90 vueltas por minuto (rpm). Determina: a) su velocidad angular, en rad/s; b) la velocidad lineal de un punto situado a $30\thinspace\mathrm{cm}$ del centro; c) el número de vueltas que darán las aspas en $5\thinspace\mathrm{min}$.

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a) Utilizamos factores de conversión:

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b) Utilizamos la relación entre las velocidades lineal y angular, con $R=30\thinspace\mathrm{cm} = 0.3\thinspace\mathrm{m}$:

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c) Escribimos la ecuación del movimiento de las aspas:

$$ \varphi(t) = \varphi_0 + \omega (t-t_0), $$

donde $\varphi_0 = 0$, $\omega = 90\thinspace\mathrm{rpm}$ y $t_0 = 0$, es decir:

$$ \varphi(t) = 90t\thinspace[\mathrm{rev}] $$

Sustituyendo el tiempo por $t=5\thinspace\mathrm{min}$, obtenemos el espacio angular en vueltas (rev):

$$ \varphi(5\thinspace\mathrm{min}) = 90\thinspace\mathrm{rev/\cancel{min}}\cdot 5\thinspace\cancel{\mathrm{min}} = 450\thinspace\mathrm{rev} $$