Campo magnético

Índice

El campo magnético es una perturbación en el espacio producida por la presencia de corrientes eléctricas. Se trata de una magnitud vectorial definida en cada punto del espacio perturbado. Se denota por $\vec B$ y su unidad en el SI es el tesla (T), equivalente a V s/m².

Introducción

Los imanes naturales eran ya conocidos en la Antigua Grecia. Se sabía que algunos minerales como la magnetita tenían la propiedad de atraer piezas de hierro.

Durante mucho tiempo, el estudio del magnetismo se limitó a estudiar estos imanes naturales.

Pierre de Maricourt

En 1269, Pierre de Maricourt observó que todos los imanes, independientemente de su forma, poseían dos polos (N y S) en los que la fuerza ejercida por el imán presentaba su máxima intensidad. Descubrió además que al aproximar polos iguales se repelían. Por el contrario, si se aproximaban polos opuestos se atraían. Observó también que los polos nunca se encuentran aislados.

El descubrimiento de la brújula

El descubrimiento de todos estos fenómenos magnéticos hizo posible el desarrollo de la brújula, que se atribuye a los chinos en el s. XI, aunque en Europa no comenzó a utilizarse hasta el s. XII.

En 1600, el inglés William Gilbert, científico y médico de la Reina Isabel I de Inglaterra, explicó el comportamiento de las brújulas suponiendo que la Tierra era un gigantesco imán con el polo Sur magnético en el polo Norte geográfico (los polos magnéticos de la Tierra no coinciden exactamente con los geográficos. Entre ellos existe un ángulo denominado declinación magnética que varía en el tiempo y en el espacio).

Pincha aquí para descubrir el origen del campo magnético terrestre

La hipótesis de la dinamo es una teoría científica que intenta explicar el mecanismo por el que un cuerpo celeste, como por ejemplo la Tierra, genera un campo magnético a su alrededor.

En el caso de la Tierra, se cree que su campo magnético está causado por el movimiento de convección del hierro y níquel fundidos en el interior del núcleo terrestre exterior, así como el efecto Coriolis que aparece por la rotación del planeta.

El campo magnético terrestre interacciona con el viento solar en una región que se conoce como la magnetosfera, que se extiende desde los 500 km de altura hasta miles de kilómetros en el espacio. Esta interacción es la principal causa de las auroras polares.

Aprende más sobre imanes y brújulas con esta excelente simulación:

También te recomendamos echar un vistazo a este vídeo del Departamento de Física y Química del IES Valle del Saja sobre magnetismo inducido:

Experiencias de Ørsted y de Faraday-Henry

Los fenómenos eléctricos y magnéticos están íntimamente relacionados, pero la conexión entre ambos no se hizo hasta comienzos del s. XIX, cuando Ørsted descubrió que las corrientes eléctricas eran capaces de influir sobre la aguja de una brújula, modificando el magnetismo.

Pocos años después, Faraday y Henry observaron el efecto contrario. Al acercar o alejar un imán a un conductor, se generaba en él una corriente eléctrica.

Puedes aprender más jugando con esta simulación:

Todos estos hechos pusieron de manifiesto la íntima relación entre la electricidad y el magnetismo.

Magnetismo

Posteriormente, Ampère sentó las bases del magnetismo, proponiendo un modelo según el cual las fuentes del campo magnético no son los imanes, sino las corrientes eléctricas. Según su teoría, el magnetismo de los imanes se debe a la existencia de pequeñas corrientes eléctricas a escala atómica, debidas al movimiento de electrones. Estas corrientes están orientadas de forma que sus efectos se suman (ferromagnetismo) o se cancelan (diamagnetismo) (en los materiales paramagnéticos los dipolos solo se alinean si existe un campo externo).

El diamagnetismo da lugar a un fenómeno conocido como levitación magnética, demostrado en estos vídeos del Departamento de Física y Química del IES Valle del Saja:

Campo magnético generado por una corriente eléctrica: ley de Biot y Savart

El campo magnético $\vec B$ generado por una corriente $I$ viene dado por la ley de Biot y Savart:

$$ \mathrm d \vec B = \frac{\mu}{4\pi}\frac{I\mathrm d \vec \ell \times \hat{\mathrm r}}{r^2}, $$

donde $\mu$ es la permeabilidad magnética ($\approx 4\pi\times 10^{-7}\,\mathrm{N\,A^{-2}}$ en el vacío), $r$ es la distancia del elemento de corriente $\mathrm d \vec \ell$ al punto P y $\hat{\mathrm r}$ es el vector unitario desde el elemento $\mathrm d \vec \ell$ hacia P.

De acuerdo con la expresión anterior, el $\mathrm d \vec B$ generado:

Módulo

$\displaystyle \mathrm d B = \frac{\mu}{4\pi}\frac{I\mathrm d \ell \sin\theta}{r^2}$, siendo $\theta$ el ángulo formado entre $\mathrm d \vec \ell$ y $\hat{\mathrm r}$

Dirección

$\perp$ al plano formado por $\mathrm d \vec \ell$ y $\hat{\mathrm r}$

Sentido

regla de la mano derecha o regla del sacacorchos.

¿Cómo indicamos si un vector entra o sale del papel?

Si integramos la ley de Biot y Savart a la corriente completa, se obtiene el campo magnético total en el punto P. Vamos a aplicarlo a dos casos concretos: hilo infinito y espira de corriente.

Campo creado por un hilo conductor infinito

De acuerdo a la ley de Biot y Savart:

$$ \mathrm d B = \frac{\mu}{4\pi}\frac{I\mathrm d \ell \sin\theta}{r^2} $$

Para integrar necesitamos expresarlo todo en función de una única variable (en este caso el ángulo $\theta$):

$$ \begin{gathered} R = r\sin\left(\pi-\theta\right) = r\sin\theta \rightarrow r = \frac{R}{\sin\theta}\qquad (1) \\[1ex] \frac{R}{x} = \tan\left(\pi-\theta\right) = -\tan\theta; x = -\frac{R}{\tan\theta}\notag \\[1ex] \mathrm d x = \mathrm d \ell = \frac{R}{\tan^2\theta}\cdot \frac{1}{\cos^2\theta}\,\mathrm d \theta = \frac{R}{\sin^2\theta}\,\mathrm d \theta\qquad (2) \end{gathered} $$

Sustituyendo (1) y (2) se tiene:

$$ \mathrm d B = \frac{\mu I}{4\pi}\frac{R}{\sin^2\theta}\frac{\sin^3\theta}{R^2}\,\mathrm d \theta = \frac{\mu I}{4\pi R}\sin\theta\,\mathrm d \theta $$

Hay que integrar para el hilo completo $\left(x \rightarrow -\infty: \theta = 0; x \rightarrow \infty: \theta = \pi\right)$:

$$ B = \int_{\theta = 0}^{\theta = \pi} \frac{\mu I}{4\pi R}\sin\theta\,\mathrm d \theta = \left. -\frac{\mu I}{4\pi R }\cos\theta \right |_0^\pi = \boxed{\frac{\mu I}{2\pi R}} $$

¿Cómo es el campo creado por dos hilos conductores infinitos? Pincha aquí para averiguarlo

Consideremos dos casos, siguiendo la notación de esta figura:

1. Corrientes circulan en el mismo sentido
Dado que, en la región entre los dos hilos, los campos creados por cada hilo tienen sentidos opuestos, existe un punto en el que el campo magnético total se anula. Tomando $y=0$ la posición del hilo 1 (el hilo 2 estaría situado en $y=d$):

Si $I_1=I_2$, entonces el punto donde el campo magnético total se anula está en el medio de ambos hilos ($y=d/2$).

$$ y = \frac{I_1}{I_1-I_2}d,\quad\text{con }I_1>I_2 $$

Si $I_1=I_2$, las distancias adicionales hacen que no haya un punto donde los campos se cancelen exactamente debido a la geometría y la distancia involucrada.

Campo creado por una espira de corriente en su eje

Consideremos una espira de radio $R$ por la que circula una corriente $I$ en sentido antihorario.

$$ \begin{gathered} \mathrm d \vec \ell \perp \hat{\mathrm r} \Rightarrow \sin\theta=1 \\ \mathrm d \vec B \perp \hat{\mathrm r}\text{ y }\mathrm d \vec B \perp \mathrm d \vec \ell \\ r^2 = z^2+R^2 \\ \mathrm d B = \frac{\mu}{4\pi}\frac{I\mathrm d \ell}{z^2+R^2} \end{gathered} $$

Por geometría, si se consideran $\mathrm d B_y$ generados por todos los elementos de corriente de la espira, estos se cancelan. Así, solo quedan componentes $\mathrm d B_z$:

El campo magnético también debe cumplir el principio de superposición. Si en un punto tenemos $\vec B_i$ creados por diferentes corrientes, el campo magnético total, $\vec B_\mathrm t$, viene dado por:

$$ \vec B_\mathrm t = \sum_i \vec B_i $$

Campo magnético generado por agrupaciones de corrientes: ley de Ampère

Para calcular el campo generado por una agrupación de corrientes se emplea la ley de Ampère. Antes de enunciar esta ley resulta necesario definir la circulación de un campo vectorial $\vec A$:

En los campos conservativos, como $\vec g$ o $\vec E$, esta circulación se hace cero puesto que existe un potencial:

Pero el campo magnético es no conservativo:

• No existe un potencial magnético.
• El trabajo realizado por la fuerza magnética depende del camino seguido.
• La circulación de $\vec B$ es distinta de cero.

La ley de Ampère generaliza este resultado para cualquier agrupación de corrientes:

$$ \oint \vec B\cdot \mathrm d \vec \ell = \mu \sum_i I_i $$

Campo creado en el interior de un solenoide

Un solenoide o bobina está formado por un hilo de corriente enrollado formando $N$ espiras que se orientan en torno a un eje. El solenoide se comporta, en su conjunto, como un imán:

Según la ley de Ampère:

$$ BL = \mu NI \rightarrow B = \mu NI/L = \mu nI, $$

con $n = N/L$ el número de espiras por unidad de longitud. Así, el campo magnético generado por un solenoide en su interior¹:

• Es uniforme y su módulo $B = \mu nI$.
• Dirección la del eje del solenoide.
• Sentido dado por la regla de la mano derecha.

Efecto del campo magnético sobre una carga en movimiento: ley de Lorentz

Cuando una carga puntual $q$ de masa $m$ se desplaza con velocidad $\vec v$ en el interior de un campo magnético uniforme $\vec B$, estará sometida a una fuerza $\vec F_\mathrm m$ debida al campo tal que:

$$ \vec F_\mathrm m = q\vec v \times \vec B\quad \text{LEY DE LORENTZ} $$

Módulo

$F_\mathrm m = qvB\sin\theta$, con $\theta$ el ángulo formado entre $\vec v$ y $\vec B$. Es proporcional a $v$ y $B$, se anula cuando $\vec v \parallel \vec B$ y se hace máxima cuando $\vec v \perp \vec B$.

Dirección

Es perpendicular al plano formado por $\vec v$ y $\vec B$. Al ser $\perp$ a $\vec v$, no puede cambiar su módulo, únicamente la trayectoria de $q$. Al ser también $\perp$ al desplazamiento, tampoco realiza trabajo.

Sentido

Regla de la mano derecha si la carga es positiva.

Conocida $\vec F_\mathrm m$ es posible describir el movimiento de la carga en $\vec B$ (considerado siempre uniforme). Consideramos tres casos.

Velocidad paralela al campo ($\symbf{\vec v \parallel \vec B}$)

Como $\vec v \parallel \vec B$, $\vec F_\mathrm m = 0$, por lo que $q$ describe un MRU.

Velocidad perpendicular al campo ($\symbf{\vec v \perp \vec B}$)

Debido a $\vec F_\mathrm m$, la partícula describe un MCU de radio:

$$ \begin{aligned} F_\mathrm m & = ma \\ F_\mathrm m & = ma_\mathrm c = \frac{mv^2}{r} \\ qvB & = \frac{mv^2}{r} \rightarrow r = \frac{mv}{qB} \end{aligned} $$

Cuanto mayor sea $v$ y menor $B$, el radio será mayor. Con $v$ y $B$ constantes, el radio únicamente depende de la relación masa/carga.

El periodo

$$ T = \frac{2\pi r}{v} = \frac{2\pi \dfrac{mv}{qB}}{v} = \frac{2\pi m}{qB} $$

y la frecuencia $f$

$$ f = \frac{1}{T} = \frac{qB}{2\pi m} $$

son independientes de la velocidad y del radio. Se denominan periodo y frecuencia del ciclotrón.

Caso general

La velocidad $\vec v$ puede descomponerse en una componente paralela a $\vec B$, $v_\parallel$, que no se ve afectada por $\vec F_\mathrm m$ y permanece constante, y otra componente perpendicular a $\vec B$, $v_\perp$, que da lugar a un MCU.

Componiendo ambos se observa que $q$ describe un movimiento helicoidal en el que el giro se debe a $v_\perp$ y el avance de la hélice a $v_\parallel$, de forma que el paso de la hélice, $p$, viene dado por:

$$ p = v_\parallel\cdot T = v_\parallel \cdot \frac{2\pi m}{qB} $$

Existen varios dispositivos que aprovechan el movimiento de partículas cargadas dentro de un campo $\vec B$.

Dispositivos

Selector de velocidades

Es un dispositivo que permite seleccionar partículas que se mueven a cierta velocidad. En él hay un campo magnético y un campo eléctrico uniformes y perpendiculares entre sí.

Supongamos una carga $q$ positiva que penetra con velocidad $\vec v$ en el selector. Dicha carga se verá sometida a dos fuerzas:

• $\vec F_\mathrm m$ debida a $\vec B$. De acuerdo con la regla de la mano derecha, su dirección y sentido serán tal y como se refleja en la figura.
• $\vec F_\mathrm e$ debida a $\vec E$. Como la carga es positiva, dicha fuerza tendrá la misma dirección y sentido que $\vec E$.

Las partículas que salen del selector son aquellas que no se desvían, tal que $F_\mathrm m$ y $F_\mathrm e$ se contrarrestan y describen, por tanto, un MRU:

$$ \begin{aligned} F_\mathrm m & = F_\mathrm e \\ qvB & = qE \rightarrow v = \frac{E}{B} \end{aligned} $$

Espectrómetro de masas

Se emplea para determinar la relación masa/carga de iones cuya carga es conocida, midiendo el radio de la trayectoria circular que describen en el seno de un campo magnético uniforme $\vec B$ conocido.

Los iones de carga $q$ conocida son acelerados por la acción de una diferencia de potencial $\symup\Delta V$ y penetran en una región en la que existe $\vec B$ uniforme generado por un electroimán. Si los iones parten del reposo y alcanzan una velocidad $v$ al entrar en $\vec B$, por conservación de la energía:

$$ q\symup\Delta V = \frac{1}{2}mv^2\rightarrow v = \sqrt{\frac{2q\symup\Delta V}{m}}\qquad (3) $$

Una vez en $\vec B$, la carga $q$ describe una semicircunferencia de radio $r$ hasta incidir sobre una placa fotográfica:

$$ \begin{aligned} F_\mathrm m & = ma \notag \\ F_\mathrm m & = ma_\mathrm c = \frac{mv^2}{r} \notag \\ \label{eq:v2} qvB & = \frac{mv^2}{r} \rightarrow v = \frac{qBr}{m}\qquad (4) \end{aligned} $$

Igualando (3) y (4):

$$ \frac{q}{m} = \frac{2\symup\Delta V}{B^2 r^2} $$

Esto permite separar y cuantificar los isótopos de elementos químicos, como por ejemplo el hidrógeno.

Acelerador de partículas: el ciclotrón

El ciclotrón es un dispositivo capaz de acelerar partículas cargadas hasta conseguir que adquieran altas energías cinéticas. Después de ser aceleradas, las partículas suelen emplearse para bombardear núcleos, provocando reacciones nucleares que permiten obtener información sobre estos o dando lugar a materiales radiactivos que se emplean por ejemplo en medicina nuclear.

El ciclotrón está formado por dos recipientes metálicos en forma de “D”, dentro de una cámara de vacío y en el interior de un campo magnético uniforme.

Entre las dos “des” se aplica una diferencia de potencial $\symup\Delta V$ que da lugar a un campo eléctrico en el espacio que las separa. Esta $\symup\Delta V$ se alterna con un periodo $T'$ que coincide con la mitad del periodo del ciclotrón:

$$ T' = \frac{T}{2} = \frac{\pi m}{qB} $$

Cuando emergen del ciclotrón, las partículas han alcanzado $v_\mathrm{máx} = qBR_\mathrm{ciclotrón}/m \gg v_0$ y por tanto una energía cinética mucho mayor, dada por:

donde $R_\mathrm{ciclotrón}$ es el radio del ciclotrón (radio de la última semicircunferencia descrita en el ciclotrón).

Efecto del campo magnético sobre una corriente: ley de Laplace

Hemos visto que cuando una carga eléctrica puntual penetra en un campo magnético uniforme $\vec B$, experimenta una fuerza $\vec F_\mathrm m$ debida a $\vec B$ dada por la ley de Lorentz. En este apartado estudiaremos el efecto de $\vec B$ sobre una corriente eléctrica (conjunto de cargas en movimiento).

Si un hilo conductor por el que circula una corriente $I$ se encuentra en el seno de un $\vec B$ uniforme, cada $\mathrm d \vec \ell$ del hilo experimenta una fuerza magnética $\mathrm d \vec F_\mathrm m$ debida a $\vec B$, dada por:

$$ \mathrm d \vec F_\mathrm m = I\mathrm d \vec \ell\times\vec B\quad \text{LEY DE LAPLACE} $$

Si integramos a todo el hilo obtendremos la $\vec F_\mathrm m$ total que se ejerce sobre él. Lo aplicaremos a dos casos.

Hilo conductor rectilíneo

$$ \vec F_\mathrm m = I\vec L\times\vec B, $$

donde $\vec L$ es un vector que tiene la misma dirección que el hilo y su sentido es el de la corriente.

Módulo

$F_\mathrm m = ILB\sin\theta$

Dirección

$\perp$ al plano formado por $\vec L$ y $\vec B$

Sentido

Regla de la mano derecha

Acciones entre hilos conductores rectilíneos

Supongamos dos corrientes paralelas entre sí y al eje $x$, separadas una distancia $d$ y por las que circulan sendas corrientes $I_1$ e $I_2$ en el sentido positivo de dicho eje.

$I_1$ genera en $I_2$ un $\vec B_1$ saliente:

$$ \vec B_1 = \frac{\mu I_1}{2\pi d}\hat{\mathrm k} $$

Debido a $\vec B_1$, la corriente $I_2$ se ve sometida a una fuerza $\vec F_{12}$:

$$ \vec F_{12} = I_2\vec L\times\vec B_1 = -\frac{\mu I_1 I_2 L}{2\pi d}\hat{\jmath} $$

Haciendo un razonamiento análogo, $I_2$ genera en $I_1$ un $\vec B_2$ entrante:

$$ \vec B_2 = -\frac{\mu I_2}{2\pi d}\hat{\mathrm k} $$

$I_1$ se ve sometida a una fuerza $\vec F_{21}$:

Las corrientes se atraen² con una fuerza por unidad de longitud (N/m):

$$ \frac{F}{L} = \frac{\mu I_1 I_2}{2\pi d}, $$

que es mayor cuanto mayores son $I_1$ e $I_2$ y cuanto menor es la distancia $d$ que las separa.

Definición de amperio

Antes de la redefinición de 2019, el amperio se definía a partir de la situación que acabamos de describir:

Un amperio es la intensidad de una corriente constante que, manteniéndose en dos conductores paralelos, rectilíneos, de longitud infinita, de sección circular despreciable y situados a una distancia de un metro uno del otro, en el vacío, produciría entre esos conductores una fuerza igual a $2\times 10^{-7}\,\mathrm{N/m}$.

Actualmente se define a partir de la carga elemental, de tal forma que un amperio es la corriente eléctrica correspondiente al flujo de $1/(1.602\,176\,634\times 10^{-19}) = 6.241\,509\,074\times 10^{18}$ cargas elementales por segundo.

Espira de corriente

Consideraremos el caso más simple de una espira rectangular de lados $a$ y $b$ por la que circula una corriente $I$, tal y como indica la figura:

La espira se encuentra en un campo magnético $\vec B$ en el sentido positivo del eje $z$. Aplicando la ley de Laplace a los tramos de longitud $a$, actúan dos fuerzas iguales y opuestas cuyo módulo es:

$$ F_a = IaB $$

Lo mismo sucede en los lados de longitud $b$:

$$ F_b = IbB $$

En consecuencia, las fuerzas se cancelan dos a dos y la fuerza total $\vec F_\mathrm t$:

$$ \vec F_\mathrm t = \sum_i \vec F_i = \vec 0 $$

La espira no se mueve.

Supongamos ahora que inclinamos la espira de forma que su vector superficie forma un ángulo $\theta$ con $\vec B$:

Las fuerzas que actúan sobre los lados de longitud $b$ se cancelan porque actúan sobre la misma línea (misma $z$). Pero esto no sucede con los lados de longitud $a$. Las fuerzas no se encuentran sobre la misma línea y forman un par de fuerzas que hace girar la espira. Podemos calcular el momento del par:

$$ \begin{aligned} \vec M &= \left(\vec r\times\vec F_a\right) + \left(-\vec r\times-\vec F_a\right) = 2\left(\vec r\times\vec F_a\right) \\ M &= 2\frac{b}{2}IaB\sin\theta = ISB\sin\theta \end{aligned} $$$$ \vec M = I\vec S\times\vec B $$

Si $\vec B\parallel\vec S\Rightarrow \vec M = \vec 0\rightarrow$ la espira no gira.

Si $\vec B\perp\vec S\Rightarrow \vec M$ es máximo.