Frenesí de la Física: la batalla de las ecuaciones

Índice

1. Relación de energía-momento

$$ E^2 = \left(pc\right)^2 + \left(mc^2\right)^2 $$

Esta relación se simplifica a $E=mc^2$ para objetos en reposo, ilustrando que la masa y la energía son dos caras de la misma moneda y pueden convertirse de una forma a otra.

2. Ecuaciones de Maxwell

\begin{align*} \nabla \cdot \mathbf E &= \frac{\rho}{\epsilon_0} \\ \nabla \cdot \mathbf B &= 0 \\ \nabla \times \mathbf E &= -\frac{\partial{\mathbf B}}{\partial t} \\ \nabla \times \mathbf B &= \mu_0\left(\mathbf J+\epsilon_0\frac{\partial{\mathbf E}}{\partial t}\right) \end{align*}

Si estás viendo esto en un teléfono u ordenador, puedes agradecer a las ecuaciones de Maxwell por hacerlo posible. Juntas, describen la relación entre la electricidad y el magnetismo —y la radiación electromagnética. ¡Que se haga la luz!

3. Ecuación de Schrödinger

$$ i \hbar \frac{\partial}{\partial t}\Psi(\mathbf r,t) = \hat H\Psi(\mathbf r,t) $$

El pan de cada día de la mecánica cuántica, la ecuación de Schrödinger describe la función de onda de cualquier sistema cuántico y, por tanto, sigue la pista de las propiedades observables del sistema a lo largo del tiempo.

4. Segunda ley de Newton

$$ \mathbf F = m\mathbf a $$

Si alguna vez has asistido a una clase de física en el instituto, es probable que recuerdes la segunda ley de Newton. Describe cómo cambia el movimiento de un objeto cuando se aplica una fuerza.

5. Teorema de Noether

$$ \lbrace H,I\rbrace = \frac{\mathrm d H}{\mathrm d t_I} = 0\Rightarrow \lbrace I,H\rbrace = \frac{\mathrm d I}{\mathrm d t} = 0 $$

En pocas palabras, el teorema de Noether muestra que las simetrías en la naturaleza están intrínsecamente ligadas a las leyes de conservación. Esta profunda idea ha guiado todas las ramas de la física moderna.

6. Principio de incertidumbre

$$ \Delta x \Delta p \geq \frac{\hbar}{2} $$

El principio de incertidumbre, un ejemplo de las peculiaridades de la física cuántica, dice que existe un límite fundamental en cuanto a la precisión de ciertos pares de cantidades, como la posición y el momento de una partícula.

7. Segunda ley de la termodinámica

$$ \Delta S \geq 0 $$

La segunda ley de la termodinámica explica por qué el café se enfría y quizás incluso por qué envejecemos: los sistemas aislados no pueden ordenarse más con el tiempo.

8. Ecuaciones del campo de Einstein

$$ G_{\mu \nu} + \Lambda g_{\mu \nu} = \frac{8\pi G}{c^4} T_{\mu \nu} $$

Lo creas o no, hay 10 ecuaciones que formulan la teoría general de la relatividad —todas ellas empaquetadas en esta ordenada expresión de cómo la materia, la energía y la geometría del espacio-tiempo interactúan para producir la gravedad.

9. Ecuación de Dirac

$$ i \hbar \gamma^\mu \partial_\mu\psi - mc\psi = 0 $$

Si la física cuántica describe las partículas más pequeñas, y la relatividad especial describe las cosas más rápidas, ¿qué pasa con las partículas diminutas que se mueven rápidamente? Entra la ecuación de Dirac, que también predijo la existencia de la antimateria.

10. Ley de gravitación universal de Newton

$$ F = G\frac{m_1 m_2}{r^2} $$

Durante un par de cientos de años, esta ecuación reinó, explicando por qué la manzana cae del árbol: cualquier masa es atraída por otra con una fuerza que depende de las masas y de la distancia entre ellas.

11. Ecuaciones de Friedmann

\begin{align*} \left(\frac{\dot a}{a}\right)^2 &= \frac{8\pi G}{3}\rho - \frac{k}{a^2} + \frac{\Lambda}{3} \\ \frac{\ddot a}{a} &= -\frac{4\pi G}{3}(\rho+3p)+\frac{\Lambda}{3} \end{align*}

¿Quieres saber el destino del universo? No busques más que estas ecuaciones, que describen cómo evolucionará el universo en función de la cantidad de materia y energía y la tasa de expansión actual.

12. Entropía de Boltzmann

$$ S = k_\mathrm B \ln \Omega $$

Esta definición, que está grabada en la lápida de Ludwig Boltzmann, sugiere que la entropía es una propiedad termodinámica, como la presión o el volumen. Esta sutil idea ayuda a explicar cómo se relacionan los fenómenos microscópicos con el mundo macroscópico.

13. Relación de Planck-Einstein

$$ E = h\nu = \frac{hc}{\lambda} $$

Esta ecuación relaciona las naturalezas ondulatoria y corpuscular de la luz, mostrando que la energía de un fotón está relacionada con su frecuencia y su longitud de onda.

14. Fórmula de Euler

$$ e^{i\theta} = \cos\theta +i\sin\theta $$

Aunque técnicamente no sea una ecuación de física, esta fórmula establece una relación entre funciones trigonométricas y exponenciales complejas. La famosa y bella identidad de Euler se deriva de esta fórmula.

15. Ecuaciones de Hamilton

\begin{align*} \frac{\mathrm d \mathbf p}{\mathrm d t} &= -\frac{\partial \mathcal H}{\partial \mathbf q} \\ \frac{\mathrm d \mathbf q}{\mathrm d t} &= \frac{\partial \mathcal H}{\partial \mathbf p} \end{align*}

Las ecuaciones de Hamilton pueden utilizarse para describir el movimiento de una pelota que rebota o predecir su trayectoria hacia la canasta. Siempre que la pelota no sea demasiado pequeña o se mueva demasiado rápido, esta formulación de la mecánica clásica es suficiente.

16. Ley de Stefan-Boltzmann

$$ L = 4\pi R^2\sigma T^4 $$

La luz de las estrellas, el brillo de las estrellas, la primera estrella que ves esta noche… pueden describirse mediante esta ecuación, que relaciona la luminosidad de una estrella con su temperatura y su radio.