La física de los loops de las montañas rusas 🎢

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Para ilustrar el concepto de aceleración centrípeta, los ejercicios de los libros de texto suelen representar loops perfectamente circulares para simplificar los cálculos. Pero la realidad es que los loops de las montañas rusas no son circulares en absoluto:

El problema fundamental de los loops circulares es el radio constante, que genera intensas fuerzas g que los hacen incómodos y peligrosos para los pasajeros. Esto se hizo realidad por primera vez en la década de 1840, cuando se construyeron los primeros ferrocarriles centrífugos con loops circulares en Europa Occidental:

No fue hasta que se introdujeron formas alternativas en la década de 1970 que los loops de montaña rusa empezaron a popularizarse:

Loops circulares

Antes de poder explicar la física que utilizan los ingenieros de montañas rusas para diseñar la variedad de formas de loops que encontramos hoy en día, necesitamos empezar con una buena comprensión de la física detrás de los loops circulares simples.

Utilicemos como ejemplo esta sencilla montaña rusa, que consiste en una subida mecánica de altura $h_0$ y un solo loop circular de radio $r$:

A medida que el tren sube, va ganando energía potencial gravitatoria de acuerdo a la expresión $E_\mathrm p = mgh$. Al bajar, la energía potencial gravitatoria se transforma en energía cinética, $E_\mathrm c$, conservándose la energía mecánica total¹, por lo que podemos calcular la velocidad, $v$, en función de la altura, $h$, en cualquier punto:

\begin{align*} E_\mathrm p &= E_\mathrm c + E_\mathrm p \\ mgh_0 &= \frac{1}{2}mv^2 + mgh \Rightarrow v = \sqrt{2g(h_0-h)} \end{align*}

La velocidad con la que entra el tren al loop, $v_0$, se obtiene imponiendo $h=0$, por lo que:

$$ v_0 = \sqrt{2gh_0} $$

En el momento en el que el tren entra en el loop, comienza a sufrir una aceleración centrípeta dada por $a_\mathrm c = v^2/r$. La fuerza normal y la componente radial del peso, $P\cos\theta$, con $\theta$ el ángulo que forma la pista con la horizontal en un punto cualquiera, actúan como fuerzas centrípetas, por lo que podemos escribir la segunda ley de Newton como:

\begin{align*} F_\mathrm T &= ma \\ N-mg\cos\theta &= \frac{mv^{2}{r} \Rightarrow N = \frac{mv}2}{r} + mg\cos\theta \end{align*}

Fuerza g

Dividiendo $N/(mg)$ obtenemos la fuerza g, denotada por $G$, que experimentarán los pasajeros cuando el tren circule por el loop:

$$ G = \frac{N}{mg} = \frac{v^2}{rg}+\cos\theta $$

Sustituyendo $v = \sqrt{2g(h_0-h)}$ obtenemos:

$$ G = \frac{2(h_0-h)}{r}+\cos\theta $$

Podemos escribir $h$ en función de $\theta$:

$$ h = r-r\cos\theta = r(1-\cos\theta) $$

Sustituyendo y simplificando:

$$ G = \frac{2h_0}{r}+3\cos\theta-2 = \frac{v_0^2}{rg}+3\cos\theta-2 $$

Sustituyendo $\theta = s/r$, donde $s$ es la longitud de arco, o la longitud de vía que el tren ha recorrido alrededor del loop:

$$ G = \frac{v_0^2}{rg}+3\cos(s/r)-2 $$

Podemos ver rápidamente el problema fundamental de los loops circulares. Independientemente del radio del círculo y de la velocidad inicial, siempre habrá una diferencia de 6g entre la parte inferior y la parte superior:

• Si el tren tiene la energía suficiente para dar toda la vuelta, entonces la velocidad del tren será exactamente cero en la parte superior del loop, y los pasajeros experimentarán –1g. En la parte inferior del loop, los pasajeros experimentarán +5g, y este valor será aún mayor si el tren viaja más rápido.

• Si el tren viaja exactamente a la velocidad para que los pasajeros experimenten la ingravidez, o 0g, en la parte superior, entonces experimentarán +6g en la parte inferior.

El Comité F24 sobre Atracciones y Dispositivos de Diversión ha creado normas ASTM para el diseño de atracciones seguras, y proporcionan límites de exposición a la fuerza g que incluyen magnitud, dirección y duración. Por ejemplo, si los pasajeros van a estar sometidos a 4g, entonces la duración de esa exposición no debe exceder de 4 segundos, y esta duración disminuye a medida que se alcanzan fuerzas g más elevadas. Esta es una de las razones por las que la fuerza g en una montaña rusa no suele superar los 4g.

Loops con aceleración centrípeta constante

Es físicamente imposible diseñar un loop perfectamente circular que sea emocionante y cómodo para los pasajeros, y es por eso que no se utilizan en las montañas rusas modernas. En su lugar, los ingenieros deciden qué fuerzas g quieren que experimenten los pasajeros en un loop vertical, y diseñan a la inversa una forma que proporcione esas fuerzas.

Por ejemplo, supongamos que queremos diseñar un loop que proporcione aceleración centrípeta constante en todo el recorrido. Imponemos:

$$ a_\mathrm c = \frac{v^2}{r} = C\cdot g \Rightarrow r = \frac{v^2}{C\cdot g}, $$

donde $C$ es una constante. Como $v^2$ es inversamente proporcional a la altura, esto nos dice que el radio $r$ debe disminuir linealmente con la elevación, $y$:

$$ v^2 = v_0^2-2gy \rightarrow r = \frac{1}{C}\cdot\left(\frac{v_0^2}{g}-2y\right) $$

Dado que el radio es ahora una función en lugar de una constante, resulta más difícil definir la trayectoria del loop, para lo que tendremos que resolver un sistema de ecuaciones diferenciales dado por²:

\begin{align*} \frac{\partial\theta}{\partial s} &= \frac{1}{r} \\ \cos\theta &= \frac{\partial x}{\partial s} \\ \sin\theta &= \frac{\partial y}{\partial s} \end{align*}

Introducimos nuestra expresión de $r$ en la primera ecuación y resolvemos el sistema numéricamente³ para trazar la forma del loop. Podemos también generar un gráfico de fuerza g a lo largo de la trayectoria como hicimos antes para el loop circular:

Para cualquier loop con aceleración centrípeta constante, la fuerza g en la parte inferior siempre será igual a C + 1, y la fuerza g en la parte superior siempre será C – 1. Esto significa que siempre habrá una diferencia de 2g entre la parte superior e inferior del loop, y este rango se puede desplazar hacia arriba o hacia abajo cambiando la magnitud de C.

Podemos encontrar muchos ejemplos de montañas rusas reales que utilizan formas similares. Un ejemplo es el Carolina Cyclone en Carowinds, que fue construido por Arrow Dynamics en 1980:

Loops con fuerza g constante

Además de loops con aceleración centrípeta constante, también se pueden diseñar loops que proporcionen una fuerza g constante. La ecuación para la fuerza g que derivamos anteriormente es:

$$ G = \frac{v^2}{rg} + \cos\theta $$

Despejando $r$ y sustituyendo $v$ obtenemos:

$$ r = \frac{v_0^2-2gy}{g(G-\cos\theta)}, $$

expresión que podemos introducir en nuestro sistema de ecuaciones diferenciales. Ajustando G podemos crear una forma que proporcione cualquier magnitud de fuerza g constante que queramos:

Clotoides

Los loops de aceleración centrípeta constante y fuerza g constante son buenas alternativas a los loops circulares, ya que generan fuerzas g más bajas. Sin embargo, todavía no hemos abordado el cambio repentino de la fuerza g al principio y al final del loop. Para resolver este problema, necesitamos curvas suaves cuyo radio sea directamente proporcional a la longitud recorrida a lo largo de la vía. Este tipo de curva se conoce como clotoide, espiral de Euler o espiral de Cornu, y fue implementada por primera vez en diseños de montañas rusas por Werner Stengel a partir de 1975:

La expresión matemática usual es:

$$ r\cdot s = A^2, $$

donde $A$ es el parámetro de la clotoide (un factor de escala). Las clotoides se utilizan habitualmente para conectar entre sí elementos de montañas rusas que tienen curvaturas diferentes, y también pueden utilizarse para crear loops verticales⁴:

Observamos cómo, independientemente de la velocidad del tren o del factor de escala, la fuerza g al principio y al final del loop es exactamente igual a 1g, para coincidir con la vía horizontal a ambos lados. Si un ingeniero quiere diseñar un loop utilizando curvas clotoides, pero no le gustan las fuerzas g generadas por un loop clotoide completo⁵, entonces puede optar por mezclar y combinar segmentos de diferentes formas de loop⁶.

A modo de resumen, la siguiente figura muestra una comparación de los distintos loops que hemos visto, así como la dependencia de su fuerza g, $G$, con respecto a la longitud de vía recorrida, $s$:

Aunque la física subyacente de los loops de las montañas rusas es relativamente sencilla, hay una gran cantidad de matemáticas e ingeniería implicadas en la creación de un diseño que sea seguro y emocionante para los pasajeros. Cada empresa de diseño de montañas rusas ha ideado su propia fórmula, que hace que cada montaña rusa sea única y emocionante, y todas ellas han avanzado mucho desde los primeros loops circulares que se construyeron hace casi 200 años.