¿Cómo se forma el arcoíris?

Y por qué nunca lo podrás alcanzar

Foto de Frans Van Heerden en Pexels

Entrada basada en el siguiente hilo de Twitter:

Hoy toca hablar de óptica y geometría, pues vamos a usar esas dos cosas para explicar cómo se forma el famoso arcoíris y por qué jamás lo podrás alcanzar. Así que, comencemos:

Esquema de una gota de agua representada con un círculo. Sobre el esquema se representa el rayo incidente a la gota, el rayo refractado que se acerca a la perpendicular al medio, un rebote en su interior (simétrico respecto a la perpendicular) y la salida del rayo de la gota, en todos los casos representando la [**ley de Snell**](https://es.wikipedia.org/wiki/Ley_de_Snell) y las desviaciones que sufre el rayo de luz.
Esquema de una gota de agua representada con un círculo. Sobre el esquema se representa el rayo incidente a la gota, el rayo refractado que se acerca a la perpendicular al medio, un rebote en su interior (simétrico respecto a la perpendicular) y la salida del rayo de la gota, en todos los casos representando la ley de Snell y las desviaciones que sufre el rayo de luz.

Los arcoíris se forman cuando llueve, pues para que este fenómeno óptico se produzca, la luz debe entrar en las gotas de lluvia, reflejarse en su interior y salir. Al salir se producirá la famosa descomposición del espectro visible de la luz y con ello el arcoíris. Para saber con qué ángulo saldrá la luz de la gota, y saber en qué dirección se producirá el arcoíris, debemos sumar la desviación inicial, la del rebote dentro de la gota y la desviación a la salida1. Para un rebote2, la desviación total será por tanto:

$$ \hat{d}_\mathrm t = \hat{d}_1 + \hat{d}_2 + \hat{d}_3 $$

Llamamos al ángulo que forman el rayo incidente con la perpendicular de la gota en el punto de entrada. Aquí debemos tener en cuenta que cuando la luz cambia de medio su trayectoria también lo hace, como nos dice la ley de Snell. Según esta ley, el índice de refracción de un medio por el seno del ángulo incidente será igual al índice de refracción del segundo medio por el seno del ángulo que adquiere al pasar a ese medio:

$$ n_1\sin\hat \imath = n_2\sin\hat r, $$

donde $n_1$ y $n_2$ son los índices de refracción del primer y segundo medio, respectivamente; e y son los ángulos incidente y refractado, respectivamente. La primera desviación será igual al ángulo incidente menos el ángulo de la luz dentro del agua respecto a la perpendicular, o ángulo refractado, al que llamaremos . Esto lo sabemos por la geometría del problema:

Esquema de la ley de Snell. Un rayo incide con un ángulo sobre la perpendicular de un medio a otro diferente, en el segundo medio el ángulo del rayo respecto a la perpendicular cambia (en este caso se acerca a la perpendicular) por el cambio en el índice de refracción.
Esquema de la ley de Snell. Un rayo incide con un ángulo sobre la perpendicular de un medio a otro diferente, en el segundo medio el ángulo del rayo respecto a la perpendicular cambia (en este caso se acerca a la perpendicular) por el cambio en el índice de refracción.

$$ \hat{d}_1 = \hat{\imath} - \hat{r} $$

Dentro de la gota la luz se refleja, es decir, rebota con el mismo ángulo que llevaba. De aquí sacaremos la segunda desviación, pues ésta será igual a un ángulo de 180 grados (π rad) menos dos veces el ángulo de la luz en el agua, .

Esquema para representar que, en un mismo medio, el ángulo con el que rebota el rayo de luz respecto a la perpendicular tiene el mismo ángulo que al incidir.
Esquema para representar que, en un mismo medio, el ángulo con el que rebota el rayo de luz respecto a la perpendicular tiene el mismo ángulo que al incidir.

$$ \pi = \hat d_2 + 2\hat r \rightarrow \hat d_2 = \pi-2\hat r $$

Por último, tenemos la misma geometría que al inicio, pues es el mismo cambio de medio solo que al revés. Por tanto, la tercera desviación será idéntica a la primera. Y con esto solo nos queda sumar las tres desviaciones.

Esquema del rayo saliente de la gota, el cual al cambiar de medio se aleja de la perpendicular.
Esquema del rayo saliente de la gota, el cual al cambiar de medio se aleja de la perpendicular.

$$ \hat d_3 = \hat d_1 = \hat \imath-\hat r $$

Este valor lo tenemos en función del ángulo incidente y del ángulo refractado. Para simplificarlo, pondremos el ángulo refractado, , en función del ángulo incidente, . Para ello volvemos a valernos de la ley de Snell. La suma de las desviaciones será:

\begin{align*} \hat d_\mathrm t &= 2\left(\hat\imath-\hat r\right)+\pi-2\hat r \\ \hat d_\mathrm t &= \pi+2\hat \imath-4\hat r \end{align*}

Utilizando la ley de Snell y suponiendo que el medio desde donde incide la luz es aire ($n_1=1$):

$$ \sin\hat\imath = n_2\sin\hat r \rightarrow \hat r = \arcsin{\left(\frac{\sin\hat\imath}{n_2}\right)}, $$

por lo que:

$$ \hat d_\mathrm t = \pi+2\hat \imath-4\arcsin{\left(\frac{\sin\hat\imath}{n_2}\right)} $$

Para obtener el ángulo para el cual se forma el arcoíris, necesitamos calcular el llamado ángulo de desviación mínima, calculando el ángulo de incidencia para el cual la desviación producida es mínima (donde se concentra la mayor parte de los rayos desviados), que denotamos por mín. No vamos a ahondar en este cálculo, pero os lo dejamos por si os interesa, se trata de ver en qué puntos la derivada se anula:

\begin{align*} \frac{\partial \hat d_\mathrm t}{\partial \hat \imath} &= 0 \\ 2-\frac{4\cos\hat\imath}{n}\cdot \frac{1}{\sqrt{1-\left(\dfrac{\sin\hat\imath}{n}\right)^2}} &= 0 \\ \frac{2n\cos\hat\imath}{n}\cdot\frac{1}{\sqrt{n^2-\sin^2\hat\imath}} &= 1 \\ \cos\hat\imath &= \sqrt{\frac{n^2-\sin^2\hat\imath}{4}} \\ \cos^2\hat\imath &= \frac{n^2-1+\cos^2\hat\imath}{4}\rightarrow 3\cos^2\hat\imath = n^2-1 \\ \hat\imath_\mathrm{mín} &= \arccos{\sqrt{\frac{n^2-1}{3}}} \end{align*}

Una vez conocemos el ángulo de incidencia que hace que la desviación sea mínima, para conocer a qué ángulo ve el arcoíris un observador terrestre, tenemos que tomar el ángulo suplementario de la desviación mínima $\hat d_\mathrm t$. A su vez, el índice de refracción del agua depende de la longitud de onda de la luz incidente a través de la expresión3 (asumiendo una temperatura de 20 °C):

$$ n_\mathrm{agua}(\lambda) = 1.31848+\frac{6.662}{\lambda[\mathrm{nm}]-129.2} $$

Índice de refracción del agua, *n*agua, en función de la longitud de onda de la luz incidente, λ, según la expresión $n_\mathrm{agua}(\lambda) = 1.31848+\dfrac{6.662}{\lambda[\mathrm{nm}]-129.2}$. Notar la variación tan pequeña (poco más de un 1 %).
Índice de refracción del agua, nagua, en función de la longitud de onda de la luz incidente, λ, según la expresión $n_\mathrm{agua}(\lambda) = 1.31848+\dfrac{6.662}{\lambda[\mathrm{nm}]-129.2}$. Notar la variación tan pequeña (poco más de un 1 %).

Sustituyendo podemos por tanto representar el ángulo del arcoíris en función de la longitud de onda, observando así la dispersión de la luz en los distintos colores, aumentando el ángulo desde el violeta hasta el rojo4:

Ángulo del arcoíris en función de la longitud de onda de la luz incidente, λ, teniendo en cuenta las expresiones $\hat\imath_\mathrm{mín} = \arccos{\sqrt{\dfrac{n^2-1}{3}}}$, $\hat d_\mathrm t = \pi+2\hat \imath-4\arcsin{\left(\dfrac{\sin\hat\imath}{n_2}\right)}$ y la dispersión del agua.
Ángulo del arcoíris en función de la longitud de onda de la luz incidente, λ, teniendo en cuenta las expresiones $\hat\imath_\mathrm{mín} = \arccos{\sqrt{\dfrac{n^2-1}{3}}}$, $\hat d_\mathrm t = \pi+2\hat \imath-4\arcsin{\left(\dfrac{\sin\hat\imath}{n_2}\right)}$ y la dispersión del agua.

Tomando $n = 1.333$ obtenemos que el ángulo incidencia para el cual la desviación es mínima es de 59 grados, 24 minutos y 38 segundos de arco, con una desviación mínima de 137 grados, 55 minutos y 19 segundos, formándose el arcoíris a un ángulo de 42 grados, 4 minutos y 41 segundos, que es el ángulo que hay desde la sombra de nuestra cabeza. Por eso nunca puedes alcanzar un arcoíris, al acercarte tu posición cambia. El arcoíris siempre estará en el mismo ángulo respecto a ti.

$$ n_\mathrm{agua} = 1.333 \rightarrow \hat\imath_\mathrm{mín} = 59^\circ\thinspace 24’\thinspace 38’’;\quad \hat d_\mathrm t = 137^\circ\thinspace 55’\thinspace 19’’;\quad \text{ángulo}_\text{arcoíris} = 42^\circ\thinspace 4’\thinspace 41’' $$

Por último, os dejamos este magnífico vídeo de un aspersor de agua pintando el arcoíris, grabado por el profesor Pedro J. Valle de la Universidad de Cantabria, en uno de los campos de hockey del Complejo Municipal de Deportes Ruth Beitia de Santander:


  1. Para conocer a qué ángulo ve el arcoíris un observador terrestre, tenemos que tomar el ángulo suplementario de la desviación. ↩︎

  2. En el caso de que la luz rebotara dos veces, se formaría un arcoíris doble, cuyos colores están invertidos, como se aprecia en la siguiente fotografía:

    Foto de [**James Wheeler**](https://www.pexels.com/es-es/@souvenirpixels) en [Pexels](https://www.pexels.com/es-es/).
    Foto de James Wheeler en Pexels.
     ↩︎

  3. Rol, P. O. (1991). Optics for transscleral laser applications (Doctoral dissertation, ETH Zurich). https://www.research-collection.ethz.ch/handle/20.500.11850/140624↩︎

  4. Notar que, a pesar de que las variaciones tanto en el índice de refracción del agua como en el ángulo son de poco más de un 1 %, son suficientes como para provocar la descomposición de la luz blanca. ↩︎

Pilar Palanca
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✍️ Blog

Eterna estudiante: física, idiomas, informática y lo que venga. Aspirante a divulgadora científica en Bajo la sombra del teseracto.

Juan Docón
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Físico por vocación y formación, programador por obligación y aspirante a divulgador en Bajo la sombra del teseracto.

Rodrigo Alcaraz de la Osa
Rodrigo Alcaraz de la Osa
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Soy Doctor en Física y Profesor de Física y Química en el IES Peñacastillo de Cantabria (España).

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