¿Cómo se forma el arcoíris?

Hoy toca hablar de óptica y geometría, pues vamos a usar esas dos cosas para explicar cómo se forma el famoso arcoíris y por qué jamás lo podrás alcanzar. Así que, comencemos:

Los arcoíris se forman cuando llueve, pues para que este fenómeno óptico se produzca, la luz debe entrar en las gotas de lluvia, reflejarse en su interior y salir. Al salir se producirá la famosa descomposición del espectro visible de la luz y con ello el arcoíris. Para saber con qué ángulo saldrá la luz de la gota, y saber en qué dirección se producirá el arcoíris, debemos sumar la desviación inicial, la del rebote dentro de la gota y la desviación a la salida¹. Para un rebote², la desviación total será por tanto:

$$ \hat{d}_\mathrm t = \hat{d}_1 + \hat{d}_2 + \hat{d}_3 $$

Llamamos î al ángulo que forman el rayo incidente con la perpendicular de la gota en el punto de entrada. Aquí debemos tener en cuenta que cuando la luz cambia de medio su trayectoria también lo hace, como nos dice la ley de Snell. Según esta ley, el índice de refracción de un medio por el seno del ángulo incidente será igual al índice de refracción del segundo medio por el seno del ángulo que adquiere al pasar a ese medio:

$$ n_1\sin\hat \imath = n_2\sin\hat r, $$

donde $n_1$ y $n_2$ son los índices de refracción del primer y segundo medio, respectivamente; e î y r̂ son los ángulos incidente y refractado, respectivamente. La primera desviación será igual al ángulo incidente menos el ángulo de la luz dentro del agua respecto a la perpendicular, o ángulo refractado, al que llamaremos r̂. Esto lo sabemos por la geometría del problema:

$$ \hat{d}_1 = \hat{\imath} - \hat{r} $$

Dentro de la gota la luz se refleja, es decir, rebota con el mismo ángulo que llevaba. De aquí sacaremos la segunda desviación, pues ésta será igual a un ángulo de 180 grados (π rad) menos dos veces el ángulo de la luz en el agua, r̂.

$$ \pi = \hat d_2 + 2\hat r \rightarrow \hat d_2 = \pi-2\hat r $$

Por último, tenemos la misma geometría que al inicio, pues es el mismo cambio de medio solo que al revés. Por tanto, la tercera desviación será idéntica a la primera. Y con esto solo nos queda sumar las tres desviaciones.

$$ \hat d_3 = \hat d_1 = \hat \imath-\hat r $$

Este valor lo tenemos en función del ángulo incidente y del ángulo refractado. Para simplificarlo, pondremos el ángulo refractado, r̂, en función del ángulo incidente, î. Para ello volvemos a valernos de la ley de Snell. La suma de las desviaciones será:

\begin{align*} \hat d_\mathrm t &= 2\left(\hat\imath-\hat r\right)+\pi-2\hat r \\ \hat d_\mathrm t &= \pi+2\hat \imath-4\hat r \end{align*}

Utilizando la ley de Snell y suponiendo que el medio desde donde incide la luz es aire ($n_1=1$):

$$ \sin\hat\imath = n_2\sin\hat r \rightarrow \hat r = \arcsin{\left(\frac{\sin\hat\imath}{n_2}\right)}, $$

por lo que:

$$ \hat d_\mathrm t = \pi+2\hat \imath-4\arcsin{\left(\frac{\sin\hat\imath}{n_2}\right)} $$

Para obtener el ángulo para el cual se forma el arcoíris, necesitamos calcular el llamado ángulo de desviación mínima, calculando el ángulo de incidencia para el cual la desviación producida es mínima (donde se concentra la mayor parte de los rayos desviados), que denotamos por î_mín. No vamos a ahondar en este cálculo, pero os lo dejamos por si os interesa, se trata de ver en qué puntos la derivada se anula:

$$ \begin{aligned} \frac{\partial \hat d_\mathrm t}{\partial \hat \imath} &= 0 \\\\ 2-\frac{4\cos\hat\imath}{n}\cdot \frac{1}{\sqrt{1-\left(\dfrac{\sin\hat\imath}{n}\right)^2}} &= 0 \\\\ \frac{2n\cos\hat\imath}{n}\cdot\frac{1}{\sqrt{n^2-\sin^2\hat\imath}} &= 1 \\\\ \cos\hat\imath &= \sqrt{\frac{n^2-\sin^2\hat\imath}{4}} \\\\ \cos^2\hat\imath &= \frac{n^2-1+\cos^2\hat\imath}{4}\rightarrow 3\cos^2\hat\imath = n^2-1 \\\\ \hat\imath_\mathrm{mín} &= \arccos{\sqrt{\frac{n^2-1}{3}}} \end{aligned} $$

Una vez conocemos el ángulo de incidencia que hace que la desviación sea mínima, para conocer a qué ángulo ve el arcoíris un observador terrestre, tenemos que tomar el ángulo suplementario de la desviación mínima $\hat d_\mathrm t$. A su vez, el índice de refracción del agua depende de la longitud de onda de la luz incidente a través de la expresión³ (asumiendo una temperatura de 20 °C):

$$ n_\mathrm{agua}(\lambda) = 1.31848+\frac{6.662}{\lambda[\mathrm{nm}]-129.2} $$

Sustituyendo podemos por tanto representar el ángulo del arcoíris en función de la longitud de onda, observando así la dispersión de la luz en los distintos colores, aumentando el ángulo desde el violeta hasta el rojo⁴:

Tomando $n = 1.333$ obtenemos que el ángulo de incidencia para el cual la desviación es mínima es de 59 grados, 24 minutos y 38 segundos de arco, con una desviación mínima de 137 grados, 55 minutos y 19 segundos, formándose el arcoíris a un ángulo de 42 grados, 4 minutos y 41 segundos, que es el ángulo que hay desde la sombra de nuestra cabeza. Por eso nunca puedes alcanzar un arcoíris, al acercarte tu posición cambia. El arcoíris siempre estará en el mismo ángulo respecto a ti.

$$ n_\mathrm{agua} = 1.333 \rightarrow \hat\imath_\mathrm{mín} = 59^\circ\thinspace 24'\thinspace 38'';\quad \hat d_\mathrm t = 137^\circ\thinspace 55'\thinspace 19'';\quad \text{ángulo}_\text{arcoíris} = 42^\circ\thinspace 4'\thinspace 41'' $$

Por último, os dejamos este magnífico vídeo de un aspersor de agua pintando el arcoíris, grabado por el profesor Pedro J. Valle de la Universidad de Cantabria, en uno de los campos de hockey del Complejo Municipal de Deportes Ruth Beitia de Santander: