Energía, trabajo y calor

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La energía es la capacidad para realizar un trabajo.

Se mide en julios ($1\thinspace \mathrm{J} = 1\thinspace\mathrm{kg}\thinspace\mathrm{m^2}\thinspace\mathrm{s^{-2}}$).

Simulación

Energías cinética, potencial y mecánica

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Energía cinética $E_\mathrm c$

$$ E_\mathrm c = \frac{1}{2}mv^2 $$

Energía potencial $E_\mathrm p$

$$ E_\mathrm p = m g h, $$

donde $h\ll R_\mathrm T$ (con $R_\mathrm T$ el radio de la Tierra) y $g$ es el valor de la aceleración de la gravedad.

Energía mecánica $E_\mathrm m$

$$ E_\mathrm m = E_\mathrm c + E_\mathrm p $$

Conservación de la energía

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Principio de conservación de la energía mecánica

Cuando sobre un cuerpo actúan únicamente fuerzas conservativas, su energía mecánica se conserva.

Ejemplos de fuerzas conservativas

Fuerzas gravitatorias, elásticas o electrostáticas.

La fuerza de rozamiento es un ejemplo de fuerza no conservativa o disipativa.

Principio de conservación de la energía

En cualquier proceso de la naturaleza, la energía total permanece constante.

Ejemplo resuelto

Un carro de 50$\thinspace$kg desliza por una montaña rusa como la de la figura.

Si en el punto A su velocidad es de 5$\thinspace$m/s y en el punto B es de 3.2$\thinspace$m/s, calcula:
a) La energía mecánica en A y en B.
b) La energía disipada en forma de calor debido a las fuerzas de rozamiento entre los puntos A y B.

$$ E_\mathrm m = E_\mathrm c + E_\mathrm p = \frac{1}{2}mv^2 + mgh $$

Tanto en A como en B el carro tiene energía cinética (se mueve a una cierta velocidad) y potencial gravitatoria (está a una cierta altura).

\begin{align*} \text{Punto A} & \begin{cases} v_\mathrm A = 5\thinspace\mathrm{m/s} \\ h_\mathrm A = 30\thinspace\mathrm{m} \end{cases} \\ \\ \text{Punto B} & \begin{cases} v_\mathrm B = 3.2\thinspace\mathrm{m/s} \\ h_\mathrm B = 20\thinspace\mathrm{m} \end{cases} \end{align*}

\begin{align*} E_{\mathrm{m}_\mathrm A} & = \frac{1}{2}mv_\mathrm A2 + mgh_\mathrm A \\ & = \frac{1}{2}\cdot 50\cdot 52 + 50\cdot 9.8\cdot 30 \\ & = 625 + 14700 = 15325\thinspace\mathrm J \end{align*}

\begin{align*} E_{\mathrm{m}_\mathrm B} & = \frac{1}{2}mv_\mathrm B2 + mgh_\mathrm B \\ & = \frac{1}{2}\cdot 50\cdot 3.22 + 50\cdot 9.8\cdot 20 \\ & = 256 + 9800 = 10056\thinspace\mathrm J \end{align*}

b) La energía perdida por rozamiento (en forma de calor) es igual a la diferencia entre la energía inicial (A) y la final (B): \begin{align*} E_\text{disipada} & = E_{\mathrm{m}_\mathrm A} - E_{\mathrm{m}_\mathrm B} \\ & = 15325 - 10056 = 5269\thinspace\mathrm J \end{align*}

Simulación

Intercambio de energía

La energía se puede intercambiar/transferir mediante:

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Aprende más sobre el criterio de signos termodinámico aquí.

Trabajo W

El trabajo se transfiere cuando entre dos cuerpos se realizan fuerzas que provocan desplazamientos o cambios en sus dimensiones.

$$ W = \vec F\cdot \vec d = F\cdot d \cdot \cos\alpha, $$

donde $F$ es el módulo de la fuerza aplicada, $d$ el espacio recorrido y $\cos\alpha$ es el coseno del ángulo formado por la fuerza y el desplazamiento.

Calor Q

El calor se transfiere entre dos cuerpos que tienen diferente temperatura, de forma que el calor cedido por el cuerpo a mayor temperatura es igual al calor ganado por el que está a menor temperatura:

$$ Q_\text{cedido} + Q_\text{ganado} = 0 $$

Por razones históricas el calor se mide a menudo en calorías ($1\thinspace\mathrm{cal} = 4.19\thinspace\mathrm{J}$).

Trabajo y potencia

$$ P = \frac{W}{t} = \frac{\vec F\cdot \vec d}{t} = \vec F\cdot \vec v $$

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En el SI la potencia se mide en vatios o watts ($1\thinspace\mathrm W = 1\thinspace\mathrm{J/s}$), siendo el caballo de vapor ($1\thinspace\mathrm{CV} \approx 735\thinspace\mathrm{W}$) otra unidad de uso común.

El kilovatio hora, $\mathrm{kW}\thinspace\mathrm h$, es una unidad de energía muy utilizada en la facturación para la energía entregada a los consumidores por las compañías eléctricas: \begin{align*} 1\thinspace\mathrm{kW}\thinspace\mathrm h\cdot \frac{1000\thinspace\mathrm{W}}{1\thinspace\mathrm{kW}}\cdot \frac{3600\thinspace\mathrm{s}}{1\thinspace\mathrm{h}} &= 3.6\times 106\thinspace\mathrm{W\cdot s} \\ &= 3.6\times 106\thinspace\mathrm J \end{align*}

Ejemplo resuelto

Los vecinos de un bloque de pisos se han quejado de que su ascensor, con capacidad para 400$\thinspace$kg, es demasiado lento.
a) ¿Qué potencia deberá tener el nuevo motor que se instale para que pueda subir hasta arriba (supongamos 30$\thinspace$m) en 10 segundos?
b) ¿Cuál es la velocidad media del ascensor?

$$ P = \frac{W}{t}, $$

donde $W$ es el trabajo que ha de realizar el motor y $t$ es el tiempo.

La fuerza que debe vencer el ascensor es el peso del propio ascensor (supondremos unos 300$\thinspace$kg) más el peso de las personas que vayan dentro, suponiendo que sube lleno. \begin{align*} F &= P_\text{ascensor} + P_\text{personas} \\ &= m_\text{ascensor}\cdot g + m_\text{personas}\cdot g \\ &= (m_\text{ascensor} + m_\text{personas})\cdot g \\ &= (300\thinspace\mathrm{kg} + 400\thinspace\mathrm{kg})\cdot 9.8\thinspace\mathrm{N/kg} \\ &= 6860\thinspace\mathrm N \end{align*}

$$ W = F\cdot h = 6860\thinspace\mathrm N \cdot 30\thinspace\mathrm m = 205800\thinspace\mathrm J $$$$ P = \frac{W}{t} = \frac{205800\thinspace\mathrm J}{10\thinspace\mathrm s} = 20580\thinspace\mathrm W $$
$$ v_\mathrm m = \frac{h}{t} = \frac{30\thinspace\mathrm m}{10\thinspace\mathrm s} = 3\thinspace\mathrm{m/s} $$

Como curiosidad, el ascensor más rápido del mundo es capaz de viajar a 21$\thinspace$m/s.

Efectos del calor sobre los cuerpos

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Variación de temperatura

$$ Q = m\cdot c\cdot \Delta T, $$

donde $c$ es el calor específico de la sustancia, que representa la cantidad de energía que es necesario suministrar a la unidad de masa de la sustancia para elevar su temperatura en una unidad. En el SI se mide en $\mathrm{J\thinspace kg^{-1}\thinspace K^{-1}}$.

¿Sabes que el calor específico depende de la temperatura?

Dilatación

Como regla general, un cuerpo aumenta su volumen (se dilata) al aumentar su temperatura.

Una excepción notable es la dilatación anómala del agua, ya que entre 0 °C y 4 °C el agua se contrae debido a que, sorprendentemente, el hielo es menos denso que el agua líquida, razón por la que flota sobre ella.

Junta de dilatación

Si consideramos una varilla de longitud inicial $l_0$ a una temperatura inicial $T_0$ y elevamos su temperatura hasta $T$, la varilla aumentará su longitud hasta $l$.

Adaptada de https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Thermal-expansion.svg.
Adaptada de https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Thermal-expansion.svg.
$$ \Delta l = \alpha\cdot l_0\cdot \Delta T, $$

donde $\alpha$ es el llamado coeficiente de dilatación lineal, cuyas unidades en el SI son $\mathrm{K^{-1}}$.

Se puede demostrar que los coeficientes de dilatación superficial y cúbica son el doble y el triple, respectivamente, del lineal:

$$ \Delta S = 2\alpha \cdot S_0\cdot \Delta T;\quad \Delta V = 3\alpha \cdot V_0\cdot \Delta T $$

Cambios de estado

Al transferir calor a un cuerpo, su temperatura aumenta. Al variar la temperatura de un cuerpo, éste puede cambiar su estado de agregación.

Durante un cambio de estado, la temperatura del cuerpo permanece constante, ya que durante el cambio la energía transferida al cuerpo se emplea en reorganizar las partículas (romper enlaces).

$$ Q = m\cdot L, $$

donde $L$ es el calor latente, que representa la cantidad de energía requerida por la sustancia para cambiar de estado. En el SI se mide en $\mathrm{J/kg}$.

Ejemplo resuelto

Para forjar acero es necesario calentarlo a temperaturas de entre 800 °C y 1000 °C. Si tenemos una espada de acero de 1.2$\thinspace$kg de masa y 1$\thinspace$m de longitud a temperatura ambiente (20 °C) y la calentamos hasta los 900 °C, ¿cuál será su nueva longitud?
Dato: $\alpha_\text{acero} = 1.2\times 10^{-5}\thinspace\mathrm{^\circ C^{-1}}$.

$$ \Delta l = \alpha\cdot l_0\cdot \Delta T $$

la podemos escribir como ($\Delta l = l-l_0$): \begin{align} l-l_0 &= \alpha\cdot l_0\cdot \Delta T \\ l &= l_0 + \alpha\cdot l_0\cdot \Delta T \\ l &= l_0\cdot(1+\alpha\cdot \Delta T) \end{align}

Sustituyendo valores tenemos: \begin{align} l &= 1\cdot [1+1.2\times 10^{-5}\cdot (900-20)] \\ &= 1.01\thinspace\mathrm m, \end{align}

es decir, se ha alargado 1$\thinspace$cm aproximadamente.

Si tras calentar la espada la sumergimos en un tanque cilíndrico de 5$\thinspace$cm de radio y 1$\thinspace$m de altura, lleno de agua a temperatura ambiente (20 °C), ¿a qué temperatura se calentará el agua?
Datos: $d_\text{agua} = 1\thinspace\mathrm{kg/L}$; $c_\text{acero} = 0.12\thinspace\mathrm{kcal\thinspace kg^{-1}\thinspace ^\circ C^{-1}}$; $c_\text{agua} = 1\thinspace\mathrm{kcal\thinspace kg^{-1}\thinspace ^\circ C^{-1}}$.

$$ Q_\text{cedido} + Q_\text{ganado} = 0 $$
$$ Q_\text{cedido} = m_\text{espada}\cdot c_\text{acero}\cdot (T_\mathrm e - T_\text{espada}), $$

con $m_\text{espada} = 1.2\thinspace\mathrm{kg}$, $c_\text{acero} = 0.12\thinspace\mathrm{kcal\thinspace kg^{-1}\thinspace ^\circ C^{-1}}$, $T_\text{espada} = 900\thinspace^\circ\mathrm{C}$ y $T_\mathrm e$ la temperatura final de equilibrio de la mezcla (en °C).

Sustituyendo valores:

$$ Q_\text{cedido} = 0.144T_\mathrm e - 129.6\thinspace[\mathrm{kcal}] $$
$$ Q_\text{ganado} = m_\text{agua}\cdot c_\text{agua}\cdot (T_\mathrm e - T_\text{agua}), $$

con $c_\text{agua} = 1\thinspace\mathrm{kcal\thinspace kg^{-1}\thinspace ^\circ C^{-1}}$, $T_\text{agua} = 20\thinspace^\circ\mathrm{C}$ y $T_\mathrm e$ la temperatura final de equilibrio de la mezcla (en °C).

$$ V_\text{agua} = \pi r^2 h\text{ (cilindro)}, $$

donde $r = 5\thinspace\mathrm{cm} = 0.05\thinspace\mathrm{m}$ y $h = 1\thinspace\mathrm m$: \begin{align*} V_\text{agua} = \pi r2 h = \pi\cdot 0.052\cdot 1 &= 0.0079\thinspace\mathrm{m^3} \\ & = 7.9\thinspace\mathrm{L} \end{align*}

$$ d = \frac{m}{V}\rightarrow m = V\cdot d = 7.9\thinspace\mathrm{kg} $$$$ Q_\text{ganado} = 7.9T_\mathrm e - 157.1\thinspace[\mathrm{kcal}] $$

Imponiendo la conservación de la energía: \begin{align*} Q_\text{cedido} + Q_\text{ganado} &= 0 \\ 0.144T_\mathrm e - 129.6 + 7.9T_\mathrm e - 157.1 &= 0 \end{align*}

de donde despejamos $T_\mathrm e = 35.8\thinspace ^\circ\mathrm C$.

Máquinas térmicas

Consideramos una máquina térmica a un sistema que funciona periódicamente entre dos focos a distinta temperatura, y transforma parte del calor absorbido del foco caliente en trabajo, cediendo otra parte al foco frío.

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Esquema de una **máquina térmica**.
Esquema de una máquina térmica.

Rendimiento energético

$$ \eta = \frac{\text{trabajo que obtengo}}{\text{calor que consumo}} $$

Para un motor:

$$ \eta = \frac{W}{Q_1} = \frac{Q_1-|Q_2|}{Q_1} = 1-\frac{|Q_2|}{Q_1}<1 $$
$$ \eta = \frac{|Q_2|}{W} = \frac{|Q_2|}{Q_1-|Q_2|} > 1 $$$$ \eta = \frac{Q_1}{W} = \frac{Q_1}{Q_1-|Q_2|} > 1 $$
$$ \eta_\text{ideal} = 1-\frac{T_2}{T_1}, $$

que es el máximo rendimiento que puede obtenerse para un ciclo térmico que se realiza entre dos fuentes con estas temperaturas.

Motor de explosión

Se trata de una máquina térmica de combustión interna producida por una chispa eléctrica. Se puede considerar a volumen constante.

El más utilizado es el de cuatro tiempos (gasolina), siendo el ciclo de Otto la aproximación más empleada.

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