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El campo magnético es una perturbación en el espacio producida por la presencia de corrientes eléctricas. Se trata de una magnitud vectorial definida en cada punto del espacio perturbado. Se denota por $\vec B$ y su unidad en el SI es el tesla (T), equivalente a V s/m2.
El tesla es una unidad muy grande, por lo que en ocasiones se utiliza también el gauss (G), cuya equivalencia es: 1 T = 104 G.
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Los imanes naturales eran ya conocidos en la Antigua Grecia. Se sabía que algunos minerales como la magnetita tenían la propiedad de atraer piezas de hierro.
Durante mucho tiempo, el estudio del magnetismo se limitó a estudiar estos imanes naturales.
En 1269, Pierre de Maricourt observó que todos los imanes, independientemente de su forma, poseían dos polos (N y S) en los que la fuerza ejercida por el imán presentaba su máxima intensidad.
Descubrió además que al aproximar polos iguales se repelían. Por el contrario, si se aproximaban polos opuestos se atraían.
Observó también que los polos nunca se encuentran aislados.
El descubrimiento de todos estos fenómenos magnéticos hizo posible el desarrollo de la brújula, que se atribuye a los chinos en el s. XI, aunque en Europa no comenzó a utilizarse hasta el s. XII.
En 1600, el inglés William Gilbert, científico y médico de la Reina Isabel I de Inglaterra, explicó el comportamiento de las brújulas suponiendo que la Tierra era un gigantesco imán con el polo Sur magnético en el polo Norte geográfico.
Los polos magnéticos de la Tierra no coinciden exactamente con los geográficos. Entre ellos existe un ángulo denominado declinación magnética que varía en el tiempo y en el espacio.
La hipótesis de la dinamo es una teoría científica que intenta explicar el mecanismo por el que un cuerpo celeste, como por ejemplo la Tierra, genera un campo magnético a su alrededor.
En el caso de la Tierra, se cree que su campo magnético está causado por el movimiento de convección del hierro y níquel fundidos en el interior del núcleo terrestre exterior, así como el efecto Coriolis que aparece por la rotación del planeta.
El campo magnético terrestre interacciona con el viento solar en una región que se conoce como la magnetosfera, que se extiende desde los 500 km de altura hasta miles de kilómetros en el espacio. Esta interacción es la principal causa de las auroras polares.
Aprende más sobre imanes y brújulas con esta excelente simulación:
Los fenómenos eléctricos y magnéticos están íntimamente relacionados, pero la conexión entre ambos no se hizo hasta comienzos del s. XIX, cuando Ørsted descubrió que las corrientes eléctricas eran capaces de influir sobre la aguja de una brújula, modificando el magnetismo.
Pocos años después, Faraday y Henry observaron el efecto contrario. Al acercar o alejar un imán a un conductor, se generaba en él una corriente eléctrica.
Puedes aprender más jugando con esta simulación:
Todos estos hechos pusieron de manifiesto la íntima relación entre la electricidad y el magnetismo.
Posteriormente, Ampère sentó las bases del magnetismo, proponiendo un modelo según el cual las fuentes del campo magnético no son los imanes, sino las corrientes eléctricas.
Según su teoría, el magnetismo de los imanes se debe a la existencia de pequeñas corrientes eléctricas a escala atómica, debidas al movimiento de electrones.
Estas corrientes están orientadas de forma que sus efectos se suman (ferromagnetismo) o se cancelan (diamagnetismo) (en los materiales paramagnéticos los dipolos solo se alinean si existe un campo externo).
Hoy sabemos que el magnetismo de los imanes es debido principalmente al momento magnético de espín de los electrones, además de su propio movimiento como postuló Ampère.
El campo magnético $\vec B$ generado por una corriente $I$ viene dado por la ley de Biot y Savart:
$$ \mathrm d \vec B = \frac{\mu}{4\pi}\frac{I\mathrm d \vec \ell \times \hat{\mathrm r}}{r^2}, $$donde $\mu$ es la permeabilidad magnética ($\approx 4\pi\times 10^{-7}\,\mathrm{N\,A^{-2}}$ en el vacío), $r$ es la distancia del elemento de corriente $\mathrm d \vec \ell$ al punto P y $\hat{\mathrm r}$ es el vector unitario desde el elemento $\mathrm d \vec \ell$ hacia P.
De acuerdo con la expresión anterior, el $\mathrm d \vec B$ generado:
Si integramos la ley de Biot y Savart a la corriente completa, se obtiene el campo magnético total en el punto P.
Vamos a aplicarlo a dos casos concretos:
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De acuerdo a la ley de Biot y Savart:
$$ \mathrm d B = \frac{\mu}{4\pi}\frac{I\mathrm d \ell \sin\theta}{r^2} $$Para integrar necesitamos expresarlo todo en función de una única variable (en este caso el ángulo $\theta$):
$$ \begin{gathered} R = r\sin\left(\pi-\theta\right) = r\sin\theta \rightarrow r = \frac{R}{\sin\theta}\qquad (1) \\[1ex] \frac{R}{x} = \tan\left(\pi-\theta\right) = -\tan\theta; x = -\frac{R}{\tan\theta}\notag \\[1ex] \mathrm d x = \mathrm d \ell = \frac{R}{\tan^2\theta}\cdot \frac{1}{\cos^2\theta}\,\mathrm d \theta = \frac{R}{\sin^2\theta}\,\mathrm d \theta\qquad (2) \end{gathered} $$Sustituyendo (1) y (2) se tiene:
$$ \mathrm d B = \frac{\mu I}{4\pi}\frac{R}{\sin^2\theta}\frac{\sin^3\theta}{R^2}\,\mathrm d \theta = \frac{\mu I}{4\pi R}\sin\theta\,\mathrm d \theta $$Hay que integrar para el hilo completo $\left(x \rightarrow -\infty: \theta = 0; x \rightarrow \infty: \theta = \pi\right)$:
$$ B = \int_{\theta = 0}^{\theta = \pi} \frac{\mu I}{4\pi R}\sin\theta\,\mathrm d \theta = \left. -\frac{\mu I}{4\pi R }\cos\theta \right |_0^\pi = \boxed{\frac{\mu I}{2\pi R}} $$Consideremos dos casos, siguiendo la notación de esta figura:
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Dado que, en la región entre los dos hilos, los campos creados por cada hilo tienen sentidos opuestos, existe un punto en el que el campo magnético total se anula.
Tomando $y=0$ la posición del hilo 1 (el hilo 2 estaría situado en $y=d$):
$$ \begin{aligned} \vec B_\mathrm t = \vec B_1 + \vec B_2 &= \frac{\mu I_1}{2\pi y}\hat{\mathrm k}-\frac{\mu I_2}{2\pi \left(d-y\right)}\hat{\mathrm k} = \vec 0 \\ &\Updownarrow \\ B_1 &= B_2 \\ \frac{\mu I_1}{2\pi y} &= \frac{\mu I_2}{2\pi \left(d-y\right)} \rightarrow y = \frac{I_1}{I_1+I_2}d \end{aligned} $$Si $I_1=I_2$, entonces el punto donde el campo magnético total se anula está en el medio de ambos hilos ($y=d/2$).
Puede demostrarse que, en el caso de que las corrientes circulen en sentidos opuestos, el punto donde el campo magnético se anula está fuera del espacio entre los hilos, hacia el exterior del hilo con la corriente menor ($I_2$ en este caso), a una distancia:
$$ y = \frac{I_1}{I_1-I_2}d,\quad\text{con }I_1>I_2 $$Si $I_1=I_2$, las distancias adicionales hacen que no haya un punto donde los campos se cancelen exactamente debido a la geometría y la distancia involucrada.
Consideremos una espira de radio $R$ por la que circula una corriente $I$ en sentido antihorario.
Por geometría, si se consideran $\mathrm d B_y$ generados por todos los elementos de corriente de la espira, estos se cancelan. Así, solo quedan componentes $\mathrm d B_z$:
$$ \begin{aligned} \mathrm d B_z & = \mathrm d B\cos\phi = \frac{\mu}{4\pi}\frac{I\mathrm d \ell \sin\theta}{z^2+R^2}\frac{R}{\sqrt{z^2+R^2}} = \frac{\mu IR}{4\pi}\frac{\mathrm d \ell}{\left(z^2+R^2\right)^{3/2}} \\ B_z & = \int \mathrm d B_z = \frac{\mu I}{4\pi}\frac{R}{\left(z^2+R^2\right)^{3/2}}\int\mathrm d \ell = \frac{\mu I R^2}{2\left(z^2+R^2\right)^{3/2}} \end{aligned} $$$$ B_z(z=0) = \frac{\mu I}{2R}\quad\text{(campo en el centro de la espira)} $$El campo magnético también debe cumplir el principio de superposición. Si en un punto tenemos $\vec B_i$ creados por diferentes corrientes, el campo magnético total, $\vec B_\mathrm t$, viene dado por:
$$ \vec B_\mathrm t = \sum_i \vec B_i $$Para calcular el campo generado por una agrupación de corrientes se emplea la ley de Ampère.
Antes de enunciar esta ley resulta necesario definir la circulación de un campo vectorial $\vec A$:
$$ \oint \vec A\cdot \mathrm d \vec \ell,\quad \text{con $\mathrm d \vec \ell$ tangente a la línea cerrada en cada punto} $$En los campos conservativos, como $\vec g$ o $\vec E$, esta circulación se hace cero puesto que existe un potencial:
Pero el campo magnético es no conservativo:
La ley de Ampère generaliza este resultado para cualquier agrupación de corrientes:
La circulación de $\vec B$ a lo largo de una línea cerrada es la suma de las intensidades que atraviesan la superficie determinada por dicha línea, multiplicada por la permeabilidad magnética:
$$ \oint \vec B\cdot \mathrm d \vec \ell = \mu \sum_i I_i $$
Un solenoide o bobina está formado por un hilo de corriente enrollado formando $N$ espiras que se orientan en torno a un eje. El solenoide se comporta, en su conjunto, como un imán:
Según la ley de Ampère:
$$ BL = \mu NI \rightarrow B = \mu NI/L = \mu nI, $$con $n = N/L$ el número de espiras por unidad de longitud.
Así, el campo magnético generado por un solenoide en su interior:
Cuando una carga puntual $q$ de masa $m$ se desplaza con velocidad $\vec v$ en el interior de un campo magnético uniforme $\vec B$, estará sometida a una fuerza $\vec F_\mathrm m$ debida al campo tal que:
$$ \vec F_\mathrm m = q\vec v \times \vec B\quad \text{LEY DE LORENTZ} $$Conocida $\vec F_\mathrm m$ es posible describir el movimiento de la carga en $\vec B$ (considerado siempre uniforme).
Consideremos tres casos:
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Como $\vec v \parallel \vec B$, $\vec F_\mathrm m = 0$, por lo que $q$ describe un MRU.
Debido a $\vec F_\mathrm m$, la partícula describe un MCU de radio:
$$ \begin{aligned} F_\mathrm m & = ma \\ F_\mathrm m & = ma_\mathrm c = \frac{mv^2}{r} \\ qvB & = \frac{mv^2}{r} \rightarrow r = \frac{mv}{qB} \end{aligned} $$Cuanto mayor sea $v$ y menor $B$, el radio será mayor. Con $v$ y $B$ constantes, el radio únicamente depende de la relación masa/carga.
El periodo
$$ T = \frac{2\pi r}{v} = \frac{2\pi \dfrac{mv}{qB}}{v} = \frac{2\pi m}{qB} $$y la frecuencia $f$
$$ f = \frac{1}{T} = \frac{qB}{2\pi m} $$son independientes de la velocidad y del radio. Se denominan periodo y frecuencia del ciclotrón.
La velocidad $\vec v$ puede descomponerse en una componente paralela a $\vec B$, $v_\parallel$, que no se ve afectada por $\vec F_\mathrm m$ y permanece constante, y otra componente perpendicular a $\vec B$, $v_\perp$, que da lugar a un MCU.
Componiendo ambos se observa que $q$ describe un movimiento helicoidal en el que el giro se debe a $v_\perp$ y el avance de la hélice a $v_\parallel$, de forma que el paso de la hélice, $p$, viene dado por:
$$ p = v_\parallel\cdot T = v_\parallel \cdot \frac{2\pi m}{qB} $$Existen varios dispositivos que aprovechan el movimiento de partículas cargadas dentro de un campo $\vec B$.
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Es un dispositivo que permite seleccionar partículas que se mueven a cierta velocidad. En él hay un campo magnético y un campo eléctrico uniformes y perpendiculares entre sí.
Supongamos una carga $q$ positiva que penetra con velocidad $\vec v$ en el selector. Dicha carga se verá sometida a dos fuerzas:
Las partículas que salen del selector son aquellas que no se desvían, tal que $F_\mathrm m$ y $F_\mathrm e$ se contrarrestan y describen, por tanto, un MRU:
$$ \begin{aligned} F_\mathrm m & = F_\mathrm e \\ qvB & = qE \rightarrow v = \frac{E}{B} \end{aligned} $$Se emplea para determinar la relación masa/carga de iones cuya carga es conocida, midiendo el radio de la trayectoria circular que describen en el seno de un campo magnético uniforme $\vec B$ conocido.
Los iones de carga $q$ conocida son acelerados por la acción de una diferencia de potencial $\symup\Delta V$ y penetran en una región en la que existe $\vec B$ uniforme generado por un electroimán.
Si los iones parten del reposo y alcanzan una velocidad $v$ al entrar en $\vec B$, por conservación de la energía:
$$ q\symup\Delta V = \frac{1}{2}mv^2\rightarrow v = \sqrt{\frac{2q\symup\Delta V}{m}}\qquad (3) $$Una vez en $\vec B$, la carga $q$ describe una semicircunferencia de radio $r$ hasta incidir sobre una placa fotográfica:
$$ \begin{aligned} F_\mathrm m & = ma \notag \\ F_\mathrm m & = ma_\mathrm c = \frac{mv^2}{r} \notag \\ \label{eq:v2} qvB & = \frac{mv^2}{r} \rightarrow v = \frac{qBr}{m}\qquad (4) \end{aligned} $$Igualando (3) y (4):
$$ \frac{q}{m} = \frac{2\symup\Delta V}{B^2 r^2} $$Esto permite separar y cuantificar los isótopos de elementos químicos, como por ejemplo el hidrógeno.
El ciclotrón es un dispositivo capaz de acelerar partículas cargadas hasta conseguir que adquieran altas energías cinéticas.
Después de ser aceleradas, las partículas suelen emplearse para bombardear núcleos, provocando reacciones nucleares que permiten obtener información sobre estos o dando lugar a materiales radiactivos que se emplean por ejemplo en medicina nuclear.
El ciclotrón está formado por dos recipientes metálicos en forma de “D”, dentro de una cámara de vacío y en el interior de un campo magnético uniforme.
Entre las dos “des” se aplica una diferencia de potencial $\symup\Delta V$ que da lugar a un campo eléctrico en el espacio que las separa.
Esta $\symup\Delta V$ se alterna con un periodo $T'$ que coincide con la mitad del periodo del ciclotrón:
$$ T' = \frac{T}{2} = \frac{\pi m}{qB} $$Cuando emergen del ciclotrón, las partículas han alcanzado $v_\mathrm{máx} = qBR_\mathrm{ciclotrón}/m \gg v_0$ y por tanto una energía cinética mucho mayor, dada por:
$$ E_\mathrm c = \frac{1}{2}mv_\mathrm{máx}^2 = \frac{1}{2}m\left(\frac{qBR_\mathrm{ciclotrón}}{m}\right)^2 = \frac{q^2B^2R_\mathrm{ciclotrón}^2}{2m}, $$donde $R_\mathrm{ciclotrón}$ es el radio del ciclotrón (radio de la última semicircunferencia descrita en el ciclotrón).
Hemos visto que cuando una carga eléctrica puntual penetra en un campo magnético uniforme $\vec B$, experimenta una fuerza $\vec F_\mathrm m$ debida a $\vec B$ dada por la ley de Lorentz.
En este apartado estudiaremos el efecto de $\vec B$ sobre una corriente eléctrica (conjunto de cargas en movimiento).
Si un hilo conductor por el que circula una corriente $I$ se encuentra en el seno de un $\vec B$ uniforme, cada $\mathrm d \vec \ell$ del hilo experimenta una fuerza magnética $\mathrm d \vec F_\mathrm m$ debida a $\vec B$, dada por:
$$ \mathrm d \vec F_\mathrm m = I\mathrm d \vec \ell\times\vec B\quad \text{LEY DE LAPLACE} $$Si integramos a todo el hilo obtendremos la $\vec F_\mathrm m$ total que se ejerce sobre él.
Lo aplicaremos a dos casos:
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donde $\vec L$ es un vector que tiene la misma dirección que el hilo y su sentido es el de la corriente.
Supongamos dos corrientes paralelas entre sí y al eje $x$, separadas una distancia $d$ y por las que circulan sendas corrientes $I_1$ e $I_2$ en el sentido positivo de dicho eje.
$I_1$ genera en $I_2$ un $\vec B_1$ saliente:
$$ \vec B_1 = \frac{\mu I_1}{2\pi d}\hat{\mathrm k} $$Debido a $\vec B_1$, la corriente $I_2$ se ve sometida a una fuerza $\vec F_{12}$:
$$ \vec F_{12} = I_2\vec L\times\vec B_1 = -\frac{\mu I_1 I_2 L}{2\pi d}\hat{\jmath} $$Haciendo un razonamiento análogo, $I_2$ genera en $I_1$ un $\vec B_2$ entrante:
$$ \vec B_2 = -\frac{\mu I_2}{2\pi d}\hat{\mathrm k} $$$I_1$ se ve sometida a una fuerza $\vec F_{21}$:
Las corrientes se atraen con una fuerza por unidad de longitud (N/m):
$$ \frac{F}{L} = \frac{\mu I_1 I_2}{2\pi d}, $$que es mayor cuanto mayores son $I_1$ e $I_2$ y cuanto menor es la distancia $d$ que las separa.
Antes de la redefinición de 2019, el amperio se definía a partir de la situación que acabamos de describir:
Un amperio es la intensidad de una corriente constante que, manteniéndose en dos conductores paralelos, rectilíneos, de longitud infinita, de sección circular despreciable y situados a una distancia de un metro uno del otro, en el vacío, produciría entre esos conductores una fuerza igual a $2\times 10^{-7}\,\mathrm{N/m}$.
Actualmente se define a partir de la carga elemental, de tal forma que un amperio es la corriente eléctrica correspondiente al flujo de $1/(1.602\,176\,634\times 10^{-19}) = 6.241\,509\,074\times 10^{18}$ cargas elementales por segundo.
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