Movimiento parab贸lico

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脥ndice

Reconoce y aplica la composici贸n de movimientos en situaciones reales que te sean familiares con esta genial actividad.

El movimiento parab贸lico surge de la composici贸n de:

  • Un MRU horizontal con velocidad $\vec v_x = v_x \hat{\imath}$ constante.
  • Un MRUA vertical con velocidad inicial $\vec v_{0y} = v_{0y} \hat{\jmath}$ hacia arriba. La aceleraci贸n $\vec g=-g\hat{\jmath}$ apunta hacia abajo.

Como el proyectil se lanza desde una altura $h$, su posici贸n inicial viene dada por:

$$ \newcommand{\ihat}{\hat{\imath}} \newcommand{\jhat}{\hat{\jmath}} \vec r_0 = x_0\ihat + y_0\jhat = 0+h\jhat = h\jhat $$

Las componentes del vector velocidad inicial $\vec v_0$ est谩n relacionadas con el 谩ngulo $\alpha_0$, a trav茅s de su tangente: $$ \tan \alpha_0 = \frac{v_{0y}}{v_x} $$

Componentes de la velocidad

En cualquier momento, las componentes de la velocidad $\vec v$ son: \begin{align*} \vec v_x &= (v\cos\alpha)\ihat \\ \vec v_y &= (v\sin\alpha)\jhat \end{align*}

Seg煤n el teorema de Pit谩goras: $$ v = \lvert\vec v\rvert = \sqrt{v_x^2+v_y^2} $$

Ecuaciones del movimiento

Para obtener las ecuaciones del movimiento, separamos el movimiento del proyectil en sus dos componentes, $x$ (horizontal) e $y$ (vertical):

Componente $x$
En la direcci贸n horizontal el proyectil describe un MRU, por lo que su ecuaci贸n del movimiento vendr谩 dada por: $$ x(t) = x_0 + v_x t = 0 + v_0\cos\alpha_0\cdot t = v_0\cos\alpha_0\cdot t $$
Componente $y$
En la direcci贸n vertical el proyectil describe un MRUA ($\vec g=-g\jhat$), por lo que su ecuaci贸n del movimiento vendr谩 dada por: $$ y(t) = y_0 + v_{0y}t + \frac{1}{2}at^2 = h + v_0\sin\alpha_0\cdot t -\frac{1}{2}gt^2 $$

Ecuaciones vectoriales

Magnitud Ecuaci贸n vectorial
Posici贸n $\vec r(t) = (v_0\cos\alpha_0\cdot t) \ihat + \left(h+v_0\sin\alpha_0\cdot t -\frac{1}{2}gt^2\right)\jhat$
Velocidad $\vec v(t) = (v_0\cos\alpha_0)\ihat + (v_0\sin\alpha_0-gt\jhat$
Aceleraci贸n $\vec a(t) = 0 -g\jhat = -g\jhat$

Ecuaci贸n de la trayectoria

Eliminando el tiempo $t$ se obtiene la ecuaci贸n de una par谩bola:

$$ y = h + x\tan\alpha_0 - \frac{gx^2}{2v_0^2\cos^2\alpha_0} $$

Tiempo de vuelo

El tiempo de vuelo $t_\text{vuelo}$ es el tiempo total que el m贸vil permanece en el aire.

Se obtiene imponiendo $y(t_\text{vuelo})=0$ y despejando el tiempo $$ 0 = h+v_0\sin\alpha_0\cdot t_\text{vuelo} - \frac{1}{2}gt_\text{vuelo}^2 $$

Despejando $t_\text{vuelo}$: $$ t_\text{vuelo} = \frac{v_0\sin\alpha_0\pm\sqrt{v_0^2\sin^2\alpha_0+2gh}}{g}, $$ donde nos quedamos 煤nicamente con la opci贸n positiva ($+$).

驴Y si lanzamos el proyectil desde el suelo?

No tenemos m谩s que imponer $h=0$ en la anterior expresi贸n, para llegar a:

$$ t_\text{vuelo} = \frac{2v_0\sin\alpha_0}{g} $$

Alcance

El alcance es la distancia horizontal que recorre el m贸vil, siendo m谩ximo para un 谩ngulo $\alpha_0 = 45^\circ$, y teniendo el mismo valor para $\alpha_0 = 45^\circ+a$ que para $\alpha_0 = 45^\circ-a$. Se obtiene sustituyendo en la ecuaci贸n de la coordenada $x$ la expresi贸n del tiempo de vuelo, es decir alcance $ = x(t_\text{vuelo})$.

驴Y si lanzamos el proyectil desde el suelo?

Utilizando la expresi贸n del tiempo de vuelo para el caso $h=0$, tenemos

\begin{align*} x(t_\text{vuelo}) = v_0\cos\alpha_0\cdot t_\text{vuelo} &= v_0\cos\alpha_0\cdot \frac{2v_0\sin\alpha_0}{g} \\ & = \frac{v_0^2\sin(2\alpha_0)}{g} \end{align*}

Altura m谩xima

La altura m谩xima $y_\text{m谩x}$ se alcanza cuando: $$ v_y(t) = v_0\sin\alpha_0-gt = 0 $$

Despejando el tiempo $t=v_0\sin\alpha_0/g$ y sustituyendo en $y(t)$: $$ y_\text{m谩x} = h+v_0\sin\alpha_0\cdot \frac{v_0\sin\alpha_0}{g}-\frac{1}{2}g\left(\frac{v_0\sin\alpha_0}{g}\right)^2 = h+\frac{v_0^2\sin^2\alpha_0}{2g}, $$

obteni茅ndose su valor m谩ximo para $\alpha_0 = 90^\circ$ (lanzamiento vertical).

脕ngulo de la trayectoria

El 谩ngulo de la trayectoria en un determinado punto coincide con el 谩ngulo que el vector velocidad $\vec v$ forma con la horizontal en ese punto. Para su c谩lculo obtenemos las componentes $\vec v_x$ y $\vec v_y$ y gracias a la definici贸n trigonom茅trica de tangente de un 谩ngulo, calculamos $\alpha$: $$ \tan \alpha = \frac{v_y}{v_x} \Rightarrow \alpha = \arctan\left(\frac{v_y}{v_x}\right) $$

Ejemplo

Desde una ventana de una casa que est谩 a 15鈥塵 de altura lanzamos un chorro de agua a 20鈥塵/s con un 谩ngulo de 40鈥壜. Calcula la distancia a la que caer谩 el agua y la velocidad con la que llegar谩.

Lo primero hacemos un dibujo representando la situaci贸n:

Vamos a escribir las ecuaciones del movimiento, por componentes: \begin{align*} \text{Componente $x$}\rightarrow x(t) &= x_0 + v_x t = 0 + v_0\cos\alpha_0 \cdot t = \left(20\cos 40^\circ\cdot t\right)\thinspace\mathrm{m} \\ \text{Componente $y$}\rightarrow y(t) &= y_0 + v_{0y}t + \frac{1}{2}at^2 = h + v_0\sin\alpha_0\cdot t -\frac{1}{2}gt^2 \\ &= \left(15 + 20\sin40^\circ\cdot t - 4.9t^2\right)\thinspace\mathrm{m} \end{align*}

Lo primero que nos piden es la distancia a la que caer谩 el agua, o lo que es lo mismo, el alcance. Para ello necesitamos calcular primero el tiempo de vuelo $t_\text{vuelo}$, por lo que imponemos $y\left(t_\text{vuelo}\right)=0$: $$ 0 = 15 + 20\sin40^\circ\cdot t_\text{vuelo} - 4.9t_\text{vuelo}^2 $$

Despejamos el tiempo de vuelo $t_\text{vuelo}$ (notar que 煤nicamente nos quedamos con la opci贸n positiva): $$ t_\text{vuelo} = \frac{20\sin40^\circ\pm\sqrt{20^2\sin^240^\circ+294}}{9.8} = \begin{cases} 3.5\thinspace\mathrm s \\ -0.9\thinspace\mathrm s\text{ (NO)} \end{cases} $$

Sustituyendo el tiempo de vuelo en la coordenada $x$ obtenemos el alcance:

$$ \text{alcance} = x\left(t_\text{vuelo}\right) = 20\cos40^\circ\cdot t_\text{vuelo} = 20\cos40^\circ\cdot 3.5 = 53.6\thinspace\mathrm m $$

Para calcular la velocidad con la que llega al suelo, escribimos primero la ecuaci贸n de la velocidad: $$ \begin{split} \vec v(t) = v_x\ihat + v_y(t)\jhat &= \left(v_0\cos\alpha_0\right)\ihat + \left(v_0\sin\alpha_0 - gt\right)\jhat \\ &= \left[\left(20\cos 40^\circ\right)\ihat + \left(20\sin 40^\circ-9.8t\right)\jhat\right]\thinspace\mathrm{m/s} \end{split} $$

Sustituyendo el tiempo de vuelo obtenemos la velocidad con la que llega al suelo, $\vec v(t_\text{vuelo})$: $$ \begin{split} \vec v(t_\text{vuelo}) &= \left(20\cos 40^\circ\right)\ihat + \left(20\sin 40^\circ-9.8\cdot t_\text{vuelo}\right)\jhat \\ &= 15.3\ihat + \left(20\sin 40^\circ-9.8\cdot 3.5\right)\jhat = \left(15.3\ihat - 21.4\jhat\right)\thinspace\mathrm{m/s} \end{split} $$

siendo el m贸dulo $v = \lvert\vec v\rvert = \sqrt{15.3^2 + (-21.4)^2} = 26.3\thinspace\mathrm{m/s}$ (teorema de Pit谩goras).

Simulaci贸n

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