Movimiento circular

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Movimiento circular uniforme (MCU)

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Características

Las características del movimiento circular uniforme (MCU) son:

  • Trayectoria circular.
  • Módulo de la velocidad constante (aceleración tangencial $a_\mathrm t=0$).

Ecuación principal

La ecuación principal del MCU es: $$ \varphi(t) = \varphi_0 + \omega (t-t_0), $$

donde $\varphi$ es la posición angular final, $\varphi_0$ la posición angular inicial, $\omega$ la frecuencia o velocidad angular, $t$ el tiempo final y $t_0$ el tiempo inicial.

Periodo $T$
El tiempo que tarda el móvil en completar una vuelta completa se llama periodo, $T$.
Frecuencia $f$
El número de vueltas que da el móvil por unidad de tiempo es la frecuencia, $f$, y está relacionada con el periodo: $$ f = \frac{1}{T}\thinspace \left[\frac{1}{\mathrm{s}} = \mathrm{s^{-1}} = \mathrm{Hz}\right] $$

La frecuencia o velocidad angular, $\omega$, está relacionada con el periodo y la frecuencia a través de las expresiones: $$ \omega = \frac{\Delta \varphi}{\Delta t} = \frac{2\pi}{T} = 2\pi f $$

Las magnitudes lineales y las angulares se relacionan a través del radio $R$: \begin{align*} e &= \varphi R \\ v &= \omega R = \frac{2\pi R}{T} \end{align*}

Aceleración centrípeta $a_\mathrm c$

También llamada aceleración normal, es una aceleración que surge del cambio de dirección de la velocidad. Su módulo es igual a: $$ a_\mathrm c = \frac{v^2}{R} = \omega^2 R $$

y siempre se dirige hacia el centro de la circunferencia.

Movimiento circular uniformemente acelerado (MCUA)

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Componentes intrínsecas de la aceleración

La aceleración puede descomponerse en sus componentes intrínsecas, una normal (centrípeta) y otra tangencial, debida a la variación del módulo de la velocidad: $$ \vec a = \vec a_n + \vec a_t \rightarrow a = \sqrt{a_\mathrm n^2 + a_\mathrm t^2}, $$

con \begin{align*} a_\mathrm n &= \frac{v^2}{r} \\ a_\mathrm t &= \frac{\mathrm d\thinspace v}{\mathrm d\thinspace t} \end{align*} donde $v$ representa el módulo de la velocidad instantánea y $r$ es el radio de curvatura.

La aceleración tangencial se relaciona con la aceleración angular, $\alpha$, a través de la expresión: $$ a_\mathrm t = \alpha R $$

Características

Las características del movimiento circular uniformemente acelerado (MCUA) son:

  • Trayectoria circular.
  • Aceleración tangencial, $a_\mathrm t$, constante (velocidad angular $\omega$ variable).

Ecuaciones principales

La ecuaciones principales del MCUA son: \begin{align*} \text{Posición angular: } \varphi(t) &= \varphi_0 + \omega_0(t-t_0) +\frac{1}{2}\alpha(t-t_0)^2 \tag{1} \\ \text{Velocidad angular: } \omega(t) &= \omega_0 + \alpha(t-t_0) \tag{2} \\ \omega^2-\omega_0^2 &= 2\alpha\symup\Delta \varphi \tag{3} \end{align*}

donde $\varphi$ es la posición angular final, $\varphi_0$ la posición angular inicial, $\omega_0$ la velocidad angular inicial, $\omega$ la velocidad angular final, $\alpha$ la aceleración angular, $t$ el tiempo final, $t_0$ el tiempo inicial y $\symup\Delta \varphi = \varphi-\varphi_0$ es la distancia angular o espacio angular recorrido.

Dinámica del movimiento circular

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Fuerza centrípeta

La fuerza centrípeta (que busca el centro) es una fuerza que hace que un cuerpo siga una trayectoria curva.

Su dirección es siempre perpendicular al movimiento del cuerpo y hacia el centro de curvatura de la trayectoria. $$ F_\mathrm c = ma_\mathrm c = \frac{mv^2}{r} $$

Péndulo cónico

Un péndulo cónico está formado por una masa $m$ suspendida de un hilo de longitud $L$, de tal forma que gira sin rozamiento con una velocidad $v$ constante describiendo una trayectoria circular, formando un ángulo $\theta$ con la vertical.

  • La componente horizontal de la tensión actúa como fuerza centrípeta: $$ T\sin\theta = \frac{mv^2}{r} $$
  • La componente vertical de la tensión se compensa con el peso: $$ T\cos\theta = mg $$
  • Resolviendo el sistema y despejando la velocidad: $$ v = \sqrt{rg\tan\theta} $$

Curvas

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Sin peralte

La única fuerza que mantiene al vehículo girando en su trayectoria es el rozamiento, que ha de ser suficientemente grande como para proporcionar la fuerza centrípeta necesaria: $$ \mu m g > \frac{mv^2}{r} \Rightarrow v < \sqrt{\mu r g} $$

Con peralte (sin rozamiento)

Los bordes inclinados añaden una fuerza adicional (la normal) que mantiene el vehículo en su trayectoria incluso en ausencia de rozamiento.

  • La componente horizontal de la fuerza normal actúa como fuerza centrípeta: $$ N\sin\theta = \frac{mv^2}{r} $$
  • La componente vertical de la normal se compensa con el peso: $$ N\cos\theta = mg $$
  • Resolviendo el sistema y despejando la velocidad: $$ v = \sqrt{rg\tan\theta} $$