MAS

Movimiento armónico simple

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Índice

El movimiento armónico simple (MAS) es un tipo especial de movimiento periódico en el que la fuerza restauradora (elástica) sobre el objeto en movimiento es directamente proporcional a la magnitud del desplazamiento del objeto y actúa hacia la posición de equilibrio del objeto. El resultado es una oscilación que continúa indefinidamente salvo que sea inhibida por fricción o cualquier otra disipación de energía. Puede considerarse la proyección unidimensional del movimiento circular uniforme (MCU).

Movimiento armónico simple, mostrado en el espacio real y en el [espacio fásico](https://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_fásico). La órbita es periódica. Fuente: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Simple_Harmonic_Motion_Orbit.gif
Movimiento armónico simple, mostrado en el espacio real y en el espacio fásico. La órbita es periódica.
Fuente: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Simple_Harmonic_Motion_Orbit.gif

Son ejemplos de MAS el movimiento de una masa unida a un muelle, un péndulo simple o un yugo escocés:

Animación de un *yugo escocés*. Fuente: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Yugo_Escoc%C3%A9s_-_Scotch_yoke_animation.gif
Animación de un yugo escocés.
Fuente: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Yugo_Escoc%C3%A9s_-_Scotch_yoke_animation.gif

Magnitudes

Amplitud A

Máxima elongación (desplazamiento máximo de la posición de equilibrio).

Periodo T

Tiempo empleado en completar una oscilación completa.

Frecuencia f

Número de oscilaciones por unidad de tiempo: $f = 1/T$.

Frecuencia angular ω

$$ \omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi f $$

Fase inicial

Indica el estado de oscilación/vibración inicial. Se denota por $\varphi_0$.

Ecuaciones

Posición

Velocidad

Aceleración

Dinámica del MAS

Ley de Hooke

Aplicando la 2ª ley de Newton a una masa $m$ unida a un extremo de un muelle (resorte) de constante elástica $k$ (obviamos el carácter vectorial al ocurrir todo en una única dimensión): \begin{align*} F &= ma \\
-kx &= ma = m\frac{\mathrm d^2 x}{\mathrm d t^2} \rightarrow \frac{\mathrm d^2 x}{\mathrm d t^2}+\frac{k}{m}x = 0 \end{align*} cuya solución puede escribirse de la forma: $$ x(t) = A\sin\left(\sqrt{\frac{k}{m}}t+\varphi_0\right) = A\sin\left(\omega t+\varphi_0\right) $$ donde $$ \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} $$ es la frecuencia angular. El periodo, $T$, o la frecuencia, $f$, con la que oscila una masa $m$ unida a un extremo de un resorte de constante elástica $k$ pueden por tanto escribirse como: $$ T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}};\quad f = \frac{1}{T} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}} $$

Puedes aprender más sobre masas y resortes con este excelente laboratorio:

Péndulo simple

Consiste en una masa suspendida de un pivote de forma que puede oscilar libremente.

En este caso la gravedad actúa como fuerza recuperadora, acelerando la masa hacia su posición de equilibrio, provocando la oscilación alrededor de ella.

La ecuación diferencial que representa el movimiento de un péndulo simple es: $$ \frac{\mathrm d^2 \theta}{\mathrm d t^2} + \frac{g}{l}\sin\theta = 0 $$

  • En la aproximación para ángulos pequeños, el movimiento de un péndulo simple se aproxima por un movimiento armónico simple, mediante la ecuación diferencial: $$ \frac{\mathrm d^2 \theta}{\mathrm d t^2} + \frac{g}{l}\theta = 0 \rightarrow \omega = \sqrt{\frac{g}{l}} $$
  • El tiempo que tarda la masa en completar una oscilación completa es el periodo, que únicamente depende de la longitud del péndulo y de la aceleración de la gravedad, a través de la expresión: $$ T=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}} $$
  • Fuera de la aproximación para ángulos pequeños, el periodo de un péndulo también depende ligeramente de la amplitud de la oscilación.

Puedes estudiar los factores que influyen en el periodo de un péndulo con este excelente laboratorio:

Energía del MAS

Energía potencial elástica

Como la fuerza elástica es conservativa, definimos la energía potencial asociada: $$ E_\mathrm p = \frac{1}{2}kx^2 $$ Sustituyendo la expresión de la posición, $x = A\sin\left(\omega t + \varphi_0\right)$: $$ E_\mathrm p = \frac{1}{2}kA^2\sin^2\left(\omega t + \varphi_0\right) $$

Energía cinética

La energía cinética viene dada por la expresión: $$ E_\mathrm c = \frac{1}{2}mv^2 $$ Sustituyendo la expresión de la velocidad, $v = A\omega\cos\left(\omega t + \varphi_0\right)$: $$ E_\mathrm c = \frac{1}{2}mA^2\omega^2\cos^2\left(\omega t + \varphi_0\right) = \frac{1}{2}kA^2\cos^2\left(\omega t + \varphi_0\right) $$

Energía mecánica

En ausencia de rozamiento y otras pérdidas de energía, la energía mecánica total es constante: $$ E_\mathrm m = E_\mathrm c + E_\mathrm p = \frac{1}{2}kA^2 $$

Puedes aprender más sobre la energía del MAS con este excelente 🧵 hilo de Rayleigh Lord sobre el oscilador armónico simple:

Rodrigo Alcaraz de la Osa
Rodrigo Alcaraz de la Osa
Doctor en Física y Profesor de Física y Química

Soy Doctor en Física y Profesor de Física y Química en el IES Peñacastillo de Cantabria (España).

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